Nummer: Vorlesung 011396 (SS17), Übung 011397 (SS17), Modulbeschreibung im Modulhandbuch
Dies ist der erste Teil der zweisemestrigen Veranstaltung Concentration Inequalities.
Link zu Concentration Inequalities II im Wintersemester 2017/18
Voraussetzung zur Zulassung zur Prüfung ist das erfolgreiche Bearbeiten der Übungsaufgaben. Dazu müssen in jedem Semester mindestens 50% der Punkte erreicht werden.
Voraussetzungen sind die Vorlesungen Analysis I, II, Lineare Algebra I, II und Stochastik I.
Kenntnisse aus der Vorlesung Analysis III, Stochastik II sind nützlich, aber nicht notwendig.
Mehrfachintegrale und bedingte Erwartungen werden zu Beginn der Vorlesung eingeführt, bzw. wiederholt.
Ausgangspunkt der Vorlesung ist das Gesetz der großen Zahlen: Bei unabhängiger, gleichartiger Wiederholung von Experimenten konvergiert die Folge der empirischen Mittel gegen den Erwartungswert der einzelnen Zufallsgrößen. Man interessiert sich nun für die Geschwindigkeit der Konvergenz und für explizite Abschätzungen an den Approximationsfehler bei einer endlichen Anzahl von Experimenten. Die einfachste Abschätzung liefert die Markov—Chebyshev Ungleichung, die unter anderem für den Beweis des schwachen Gesetzes der großen Zahlen verwendet wird. Präzisere quantitative Aussagen sind mit Hilfe der klassischen Konzentrationsungleichungen von Chernov, Bernstein, Bennet, Efron—Stein, Harris, Hoeffding, McDiarmid, Dvoretzki—Kiefer—Wolfowitz, usw. möglich. Dagegen liefert die die Theorie der Großen Abweichungen (large deviations principles) scharfe asymptotische Abschätzungen. Dies führt in natürlicher Weise auf die Konzepte der Legendre-Transformation, der Entropie, der Sobolev-Ungleichungen und der Vapnik—Chervonenkis Klassen. Anwendungsbeispiele, etwa aus der Kombinatorik, der Lerntheorie, der Statistik, der Analysis und der Perkolationstheorie runden die Vorlesung ab.
Concentration Inequalities: A Nonasymptotic Theory of Independence
Stephane Boucheron, Gabor Lugosi, Pascal Massart (Oxford)