Zusammenfassung

Maschinelle Fertigungsprozesse, speziell im Bereich der spanenden oder umformenden Fertigung, führen bei der mathematischen Modellierung auf Problemstellungen der Elasto-Plastizität mit Kontakt. Mathematisch wird dies durch elliptische Variationsungleichungen vom Signorini-Typ beschrieben. Die hohen Präzisionsanforderungen an eine numerische Simulation erfordern effiziente und zuverlässige Fehlerkontrollen, wie sie in den letzten Jahren für Finite-Elemente-Galerkin-Diskretisierungen entwickelt wurden.

Im vorliegenden Projekt sollen gewichtete residuenbasierteFehlerschätzer für elastische Kontaktprobleme entwickelt, implementiert und getestet werden. Dabei soll insbesondere die Frage einer lokalisierten Fehlerkontrolle im Nahbereich der Kontaktzonen mit einer dadurch induzierten selbst-adaptiven Netzanpassung untersucht werden. Dazu ist eine geeignete duale Variationsaufgabe zu formulieren und zu diskretisieren, deren Lösung die Fehlerausbreitung mißt und als Gewicht in die in jedem Adaptionsschritt auszuwertenden Fehlerschätzer eingeht. Die Ergebnisse werden in Zusammenarbeit mit dem TP 4 (Weinert) zu einer Vorhersage der Genauigkeit programmierter Fräsbahnen und der Abweichungen durch Fräserdeformationen genutzt. Eine Einbeziehung dieser fehlerkontrollierten Simulation zur rechnergestützten Optimierung der Steuerung ist für die zweite Antragsperiode vorgesehen.

Ein zweiter Teilaspekt der Untersuchungen gilt der Wahl der zugrundeliegenden Finite-Elemente-Ansätze. Wegen der zu erwartenden großen Spannungsgradienten im Eingriffsbereich der Werkzeuge bietet sich lokal eine Netzverfeinerung ($h$-Methodik) an. Die weitreichenden, langwelligen Effekte werden durch Diskretisierungen mit hohem Polynomgrad ($p$-Methodik) besser erfaßt, so daß sich eine Kombination beider Zugänge durch Kombination der Finite-Elemente-Räume anbietet. Zudem besitzen Finite Elemente mit hohen Polynomgraden in der Praxis überraschend gute Diskretisierungseigenschaften im Fall langgestreckter Elemente, wie sie sich zum Beispiel für die Diskretisierung schlanker Schaftfräser anbieten. Es sollen verläßliche Fehlerkontrollen für die $p$-Methode entwickelt werden, die vor allem im Fernfeld des Kontaktbereichs präzise Informationen liefern und damit eine effiziente Kopplungsstrategie ermöglichen.