Enthält $P$ die Eigenvektoren und ist $J$ eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten, so ist $A=PJP^{-1}$.

Mit $P=[\vec{v_1}, \vec{v}_2]=\Mc{2}{2&1\\3&2}$, $P^{-1}=\Mc{2}{2&-1\\-3&2}$ (Cramersche Regel) und $J=\Mc{2}{1&0\\0&4}$ist

$ A=PJP^{-1}=\Mc{2}{2&4\\3&8}P^{-1}=\Mc{2}{-8&6\\-18&13}. $

Zu symmetrischen Matrizen gibt es stets eine ONB aus Eigenvektoren.

Erst das charakteristische Polynom berechnen, im Eigenraum der Dimension 2 Gram-Schmidt verwenden.

Berechnung des charakteristischen Polynoms:

$p(\lambda)= \left|\begin{array}{ccc}-\lambda&2&1\\2&3-\lambda&2\\1&2&-\lambda\end{array}\right|$ $= \lambda^2(3-\lambda)+4+4+4\lambda+4\lambda-(3-\lambda)$ $= -\lambda^3+3\lambda^2+9\lambda+5$

Die Summe der Koeffizienten der ungeraden und geraden Potenzen sind gleich, daher ist $\lambda_1=-1$ eine Nullstelle. Polynomdivision (von $-p(\lambda)$) mit dem Hornerschema:

$\D \begin{array}{c|c|c|c|c} & 1&-3&-9&-5\\\hline \lambda=-1&-&-1&4&5\\ \hline &1&-4&-5&0 \end{array}$

Daher ist $p(\lambda)=-(\lambda+1)(\lambda^2-4\lambda-5)$ $= -(\lambda+1)(\lambda+1)(\lambda-5)$. Die Eigenwerte sind also $\lambda_{1,2}=-1$ und $\lambda_3=5$. Berechnung der Eigenvektoren zu $\lambda_{1,2}=-1$:

$A+I=\Mc{3}{1&2&1\\2&4&2\\1&2&1}$, und $\vec{v}_1=\V{1\\0\\-1}$ und $\vec{v}_2=\V{2\\-1\\0}$ bilden eine Basis des Eigenraums.

Anwendung des Gram-Schmidt'schen Orthogonalisierungsverfahrens:

$\vec{w}_1=\D \frac{1}{\sqrt{2}}\V{1\\0\\-1}$, $\D \vec{u_2}=\V{2\\-1\\0}-\frac{1}{2}\left(\V{2\\-1\\0}\cdot \V{1\\0\\-1}\right) \V{1\\0\\-1}=\V{1\\-1\\1}$ und $\D \vec{w}_2=\frac{1}{\sqrt{3}}\V{1\\-1\\1}$.

Berechnung eines Eigenvektors zu $\lambda_3=5$: $A-5I=\Mc{3}{-5&2&1\\2&-2&2\\1&2&-5}$. Zwei Schritte Gaußverfahren ergeben die Matrizen

$\Mc{3}{0&12&-24\\0&-6&12\\1&2&-5}$ und $\Mc{3}{0&1&-2\\1&0&-1}$ und damit $\vec{v}_3=\V{1\\2\\1}$ als Eigenvektor. Da $A$ symmetrisch ist, steht $\vec{w}_3$ automatisch senkrecht auf $\vec{v}_1$ und $\vec{v}_2$ bzw. $\vec{w}_1$ und $\vec{w}_2$.

Normierung ergibt $\D \vec{w}_3=\frac{1}{\sqrt{6}}\V{1\\2\\1}$, und $\vec{w}_1$, $\vec{w}_2$ und $\vec{w}_3$ sind ein ONS aus Eigenvektoren von $A$.

Hinweis: Da ein ONS aus Eigenvektoren gibt, könnte man $\vec{w}_3$ auch als Kreuzprodukt von $\vec{w}_1$ und $\vec{w}_2$ berechnen.

$p(\lambda)=\det(A-\lambda E)$ nach der dritten Spalte entwickeln.

Es ist $\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=4$.

$A-4E$ hat offensichtlich Rang 1, daher ist der Eigenraum zweidimensional.

$\vec{x}=\alpha\V{0\\0\\1}+\beta\V{1\\1\\0}$, $\alpha$, $\beta$ nicht beide Null.

Charakteristischen Polynom faktorisieren, Eigenräume bestimmen.

In jedem Eigenraum Vektoren suchen, die auf $\V{1\\1\\1}$ senkrecht stehen.

In mehrdimensionalen Eigenräumen allgemeinen Vektor bilden und Skalarprodukt mit $\V{1\\1\\1}$ berechnen.

1. $p(\lambda)=(\lambda-1)^2(\lambda+1)$.
   
   Zwei l.u Eigenvektoren zu $\lambda=1$ sind $\vec{v}_1=\V{1\\-2\\0}$ und $\vec{v}_2=\V{1\\0\\2}$.
   
   Ein Eigenvektor zu $\lambda=-1$ ist $\vec{v}_3=\V{1\\-2\\1}$.
   
   Da EV zu verschiedenen Ew automatisch l.u. sind, und die beiden EV zu $\lambda=1$ untereinander l.u. sind, bilden diese drei Vektoren eine Basis.
2. Wegen $\vec{v}_3\cdot\V{1\\1\\1}=\V{1\\-2\\1}\cdot\V{1\\1\\1}=0$ stehen alle Eigenvektoren zu $\lambda=-1$ auf $\V{1\\1\\1}$ senkrecht.
   
   Zu $\lambda_1=\lambda_2=1$ ist der allgemeine Eigenvektor $\vec{v}=s\V{1\\2\\0}+t\V{1\\0\\2}$.
   
   $(s\V{1\\2\\0}+t\V{1\\0\\2})\cdot\V{1\\1\\1}=0\LR -s+3t=0\LR s=3t$.
   
   Die Eigenvektoren $\vec{v}=3t \V{1\\2\\0}+t\V{1\\0\\2}=t\V{4\\-6\\2}$ mit $t\neq 0$ stehen senkrecht auf $\V{1\\1\\1}$.