Wenden Sie zunächst die geometrische Summenformel an und schätzen Sie damit den Ausdruck unter der Wurzel geeignet ab.

Verwenden Sie dann das Einschließungskriterium.

$\D 2^n\le \Sum_{k=1}^n 2^k=\frac{1-2^{n+1}}{1-2}-1$ $=2^{n+1}-2\le 2^{n+1}=2\cdot2^n$.

Damit ist $2\le a_n\le \sqrt[n]{2}\cdot2$ und $\D \lim_{n\to\infty} a_n=2$.

1. Einfach Induktion.

Um $x_n\le16$ zu zeigen, setzte $u=\sqrt{x_n}$ und berechne den Scheitel der Parabel $y=u(8-u)$.

2. Wie 1.

3. Monoton + beschränkt, $\lim x_n=\lim x_{n+1}$

1. Beweis der Beschränktheit mit vollständiger Induktion

Induktionsanfang für $n = 1$:

$1 \le x_1 = 1 \le 16 \quad \surd$



Die Induktionsvoraussetzung lautet:

$1 \le x_n \le 16$ bzw. $1 \le \sqrt{x_n} \le 4$



Induktionsschritt ($n \rightarrow n+1$):

zu zeigen: $x_{n+1} \ge 1$

$\begin{align} x_{n+1} &= 8 \sqrt{x_n} - x_n \\ \\ &= \sqrt{x_n}\,( 8 - \sqrt{x_n}) \\ \\ &\overset{I.V.}{\ge} 1\,\cdot\,(8-4) \ge 1 \quad \surd\\ \\ \end{align}$



zu zeigen: $x_{n+1} \le 16 \;\Leftrightarrow\;8\,\sqrt{x_n} - x_n \le 16$

Mit $u = \sqrt{x_n}$ folgt:

$8\,u-u^2 \le 16\,\;\Leftrightarrow\;\,u^2-8u+16 \ge 0\,\;\Leftrightarrow\;\,(u-4)^2 \ge 0$

Diese Aussage ist immer wahr.



2. Monotonienachweis

Induktionsanfang für $n=1$:

$x_1 = 1 \le 7 = x_2 \quad \surd$

zu zeigen: $x_{n+1} \ge x_n\,\;\Leftrightarrow\;\,x_{n+1} - x_n \ge 0$

(Anmerkung: Im Induktionsschritt prüft man mithilfe der Induktionsvoraussetzung die Gültigkeit der Aussage für zwei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen $(n \rightarrow n+1)$.
Zeigt man $x_n \ge x_{n+1}$, hat man natürlich auch gezeigt, dass $x_{n+1} \ge x_{n+2}$ gilt.)

Beweis:

$x_{n+1} - x_n = 8\,\sqrt{x_n} - 2\,x_n = 2\,\sqrt{x_n}\,(4-\sqrt{x_n}) \ge 0$ ist eine wahre Aussage, da $x_n \le 16$ bzw. $\sqrt{x_n} \le 4$ (s. oben)



3. Grenzwert der Folge $(x_n)$ bestimmen

Da die Folge $(x_n)$ beschränkt und monoton ist, konvergiert sie gegen den Grenzwert $x$.

Hierbei gilt: $\lim_{n \to \infty} (x_n) = \lim_{n \to \infty} (x_{n+1}) = x$

$\Rightarrow x = 8\,\sqrt{x} - x \;\Leftrightarrow\; 2\,\sqrt{x} = 8 \;\Leftrightarrow\; x = 16$

Also $(x_n) \rightarrow 16$.

1. Durch $n^2$ kürzen.

2. Bernoullische Ungleichung

3. Tipp befolgen und Induktion

1. $\D \frac{1}{2}$

2. Tipp: Die Folge divergiert gegen unendlich.

3. Nach $c_n>3$ fällt die Folge monoton (wegen $c_n>3$) und hat als Grenzwert 3.