Aufgabe 1

Gegeben seien $p\in \bbbr$, $A=\Mc{3}{p&1&2\\2&1&p\\1&1&2}$ und $\vec{b}=\V{1\\1\\3-p}$.

1. Berechnen Sie die Determinante von $A$
2. Für welche $p$ hat $A\vec{x}=\vec{b}$ genau eine Lösung?
3. Für welche $p$ hat $A\vec{x}=\vec{b}$ keine Lösung?
4. Für welche $p$ hat $A\vec{x}=\vec{b}$ mehr als eine Lösung?
   
   Geben Sie in diesem Fall die Lösungsmenge an.

Tipp


Lösung

Aufgabe 2

Sei $A=\Mc{3}{3&4&-1\\2&3&0\\2&3&1}$ und $\vec{b}=\V{1\\-1\\3}$.

Berechnen Sie die Inverse von $A$ und damit die Lösung des Gleichungssystems $A\vec{x}=\vec{b}$.

Tipp


Lösung

Aufgabe 3

Sei $\D A=\Mc{3}{2&\alpha&2\\1&2&1\\\alpha&2&3}$ und $\D \vec{b}=\V{8\\1+\alpha\\12}$.

1. Für welche Werte von $\alpha\in \bbbr$ ist $A$ nicht invertierbar?
2. Berechnen Sie für diese Werte die Lösung des Gleichungssystems $A\vec{x}=\vec{b}$.
3. Berechnen Sie $A^{-1}$ für $\alpha=2$ .

Tipp


Lösung

Aufgabe 4

Sei $\D A=\Mc{3}{ 2 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & -3 & 1}$ und $\D \vec{b}=\V{1\\2\\3}$.

Bestimmen Sie alle Lösungen von $A\vec{x}=\vec{b}$ und $A^{-1}$.

Tipp


Lösung

Aufgabe 5

Sei $\D A=\Mc{5}{ 2 & -2 & 1 & 9 & -3\\ 1 & 1 & 1 & 4 & 2\\ 2 & -3 & 1 & 10 & -4 }$ und $\D \vec{b}=\V{1\\6\\-1}$.

Bestimmen Sie alle Lösungen von $A\vec{x}=\vec{b}$.

Tipp


Lösung

Aufgabe 6

Sei $t\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ und $A=\Mc{3}{\sin t&-\cos t&\cos t\\ \cos t &\sin t & \sin t\\ \sin t&-\cos t&0}$ und $\vec{b}=\V{0\\2\sin t\\-\cos t}$.

Bestimmen Sie die Lösung von $A\vec{x}=\vec{b}$ mit der Cramerschen Regel.

Tipp


Lösung

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