Für die Bogenlänge einer Kurve gilt: $\ell_C = \int_{a}^{b} |\dot{\vec{\gamma}}(t)|\,dt$

Berechnung der Kurvenlänge

Es ist $\D \dot\gamma(t)=\V{2t^2+1\\2t\\\sqrt{3}}$ und

$\begin{align} \D ||\dot\gamma(t)||^2 &=4t^4+4t^2+1+4t^2+3 \\ &=4t^4+8t^2+4 \\ &=4(t^4+2t^2+1) \\ \end{align}$


und somit folgt $\D ||\dot\gamma(t)||=2(t^2+1) $.


Die Kurvenlänge (s. Tipp) $L$ lautet: $\D L=\int_0^3 2(t^2+1)\, dt= 2\Big(\frac{t^3}{2}+t\Big) \Bigg|_0^3= 2(9+3)=24$


Bestimmung eines Potentials $F$

Wir betrachten die $x$-Komponente des Vektorfeldes und nennen sie $F_x$.

Integration nach $x$ liefert einen Ausdruck für das Potential:

$F(x,y,z) = \int F_x\,dx = xy^2 + c_1(y,z)$

Um die Konstante $c_1(y,z)$ zu bestimmen, wird $F(x,y,z)$ partiell nach $y$ abgeleitet und mit der $y$-Komponente $F_y$ des Vektorfeldes verglichen.

$\begin{array}{crclc} & &\D \frac{\partial}{\partial y} F(x,y,z) &= & F_y &\\ &\LR & \D 2xy+\frac{\partial}{\partial y}c_1(y,z) &= & 2xy + z & \Bigg| -2xy \text{ und Integration nach $y$} \\ &\LR & \D c_1(y,z) &= &yz + c_2(z) & \end{array}$


Damit ist $ F(x,y,z)=x^2y+yz+c_2(z)$.


Analog erhalten wir durch Ableiten von $F(x,y,z)$ nach $z$ und
Vergleichen des Audrucks mit der $z$-Komponente $F_z$ eine Lösung für $c_2(z)$.

Aus $F_z = y-1$ folgt $\D \frac{\partial}{\partial z}c_2(z)=-1, \quad$ also $c_2(z)=-z+c_3$.


Alle Potentiale von $\vec{v}$ sind also $F(x,y,z)=xy^2+yz-z+c_3$, $c_3\in \bbbr$.


Damit beträgt der Wert des Kurvenintegrals (mit $c_3=0$):

$\begin{align} \int_\gamma \vec{v}\, d\vec{x} &= F(\gamma(3))-F(\gamma(0))= F(21,9,3\sqrt{3})-F(0,0,0)\\ &= 21\cdot 81+27\sqrt{3}-3\sqrt{3} \\ &= 1701+24\sqrt{3} \end{align}$

1. Allgemeines Verfahren zur Berechnung eines Kurvenintegrals: $\D \int_a^b f(\phi(t))\phi'(t)\,dt$. Wobei $\D \phi(t)$ eine Parametrisierung des Weges von $a$ nach $b$ ist.
2. Skizziere den Weg und wähle eine geeignete Parametrisierung.

Definiere Weg $W$

$\D W:\,X(t) = \V{0 \\ 2} + t \V{2 \\ -2} =\V{2t \\ 2-2t}$ und damit $\D \dot{X}(t) = \V{2 \\ -2}, \quad 0 \le t \le 1$


Direkte Berechnung

$\begin{align} \D \int_{W} F\,dX &= \int_{0}^{1} \V{12t^2+4t(2-2t)^2 \\ 2\cdot4t^2(2-2t)-2}\,\V{2 \\ -2} dt \\ &= \D \int_{0}^{1} 2 (12t^2+4t(4-8t+4t^2))-2\cdot2\cdot4t^2(2-2t)+4\,dt \\ &= \D \int_{0}^{1} 2 (16t^3-20t^2+16t)-32t^2+32t^3+4\,dt \\ &= \D \int_{0}^{1} 32t^3-40t^2+32t-32t^2+32t^3+4\,dt \\ &= \D \int_{0}^{1} 64t^3-72t^2+32t+4\,dt \\ &= \D \left[ 16t^4-24t^2+16t^2+4t \right]_0^1 = 12 \end{align}$


Berechnung mithilfe eines Potentials $f(x,y)$

$F(x,y)=\V{f_x \\ f_y} = \V{3x^2+2xy^2 \\ 2x^2y-2}$

Integration von $f_x$ nach $x$, um einen Ausdruck für das Potential $f(x,y)$ zu bekommen:

$f(x,y) = \D \int f_x\,dx = x^3 +x^2y^2+C(y))$

Ableiten von $f(x,y)$ nach $y$ und Vergleich mit $f_y$:

$2x^2y+C'(y) \overset{!}{=} 2x^2y-2 \LR C'(y) = -2 \LR C(y) = -2y + C$


Somit lautet das Potential:

$\D f(x,y)=x^3+x^2 y^2-2y+C$.


Damit ist $\D \int_W F\,dX = \left[ (x^3+x^2y^2-2y)] \right]_{(0,2)}^{(2,0)} = 8+4 = 12$.

$\D \frac{d }{dx}\operatorname{arsinh} x=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

Für die Länge $\ell_C$ einer Kurve gilt: $\D \ell_C := \int_0^1 |\dot{\gamma}(t)|\,dt$

Bestimmung von $\D |\dot{\gamma}(t)|$

$\D \dot{\gamma}(t) = \V{\frac{1}{\sqrt{1+t^2}} \\ \frac{t}{\sqrt{1+t^2}} \\ \sinh t}$ und damit $\D |\dot{\gamma}(t)|^2 = \frac{1}{1+t^2} + \frac{t^2}{1+t^2} + \sinh^2 t = \cosh^2 t$


Also ist $\D |\dot{\gamma}(t)| = \cosh t$


Somit beträgt die Länge der Kurve: $\D \ell_C = \int_0^1 |\dot{\gamma}(t)| = \int_0^1 \cosh t = \left[ \sinh \right]_0^1 = \sinh 1 \approx 1.175$

Rotiert eine Funktion $g(x)$ um die $x$-Achse, gilt für die dabei entstehende Rotationsfläche $F$

$\D F = 2\pi \int_a^b g(x) \sqrt{1+(g'(x))^2} \, dx$.

Führe anschließend eine Substitution durch, um das Integral zu berechnen.

Aufgabenteil 1

Für die Rotationsfläche gilt: $\D F = 2 \pi \int_a^b\,g(x)\,\sqrt{1+(g'(x)^2)}\,dx$


mit $g(x) = x^3$ und $g'(x) = 3x^2$ folgt:


$\begin{align} F &= \D 2\pi \int_0^1 \,x^3\,\sqrt{1+(3x^2)^2}\,dx \\ \end{align}$

Wir substituieren: $\D u = 1+(3x^2)^2 \quad \LR \quad 36x^3\,dx = du \quad \LR \quad dx = \frac{1}{36x^3} du \quad$ (Achtung: Integrationsgrenzen verändern sich mit der Substituion!)

$\begin{align} \D F &= 2 \pi \int_1^{10} \frac{1}{36x^3} x^3 \sqrt{u}\,du \\ \\ &= \frac{2}{36} \pi \int_1^{10} \sqrt{u}\, du = \D \frac{2}{36} \pi \;\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} \Bigg|_1^{10} \\ \\ &= \frac{4\pi}{3 \cdot 36} \Big[10^{\frac{3}{2}} - 1^{ \frac{3}{2}}] = \frac{\pi}{27} \Big[10^{\frac{3}{2}} - 1] \approx 3.56 \end{align}$


Aufgabenteil 2

Für das Rotationsvolumen gilt allgemein: $\D V = \pi \int_a^b (g(x))^2\,dx$.

Mit $\D g(x) = x^3$ folgt also:

$\begin{align} \D V = \pi \int_0^1 x^6\,dx = \frac{\pi}{7} \end{align}$

Führe Zylinderkoordinanten ein, um die Integrale zu berechnen.

Beschreibung der Fläche $F$

$F(x,y) = \V{x \\ y \\ 2+x^2-y^2}$ mit $x^2+y^2 \le 1$

$F_x \times F_y = \V{1 \\ 0 \\ 2x} \times \V{0 \\ 1 \\ -2y} = \V{-2x \\ 2y \\ 1}$

$|| F_x \times F_y || = \sqrt{1+4x^2+4y^2}$



Berechnung des Flächeninhaltes

Unter Verwendung von Zylinderkoordinanten:


$\begin{array}{rcll} &\D \int_{x^2+y^2 \le 1} \sqrt{1+4x^2+4y^2} d(x,y) &= &\D \int_{t=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{1} \sqrt{1+4r^2}r\,dr dt & \\ & &= &\D 2\pi \frac{1}{12} \left[ (1+4r^2)^{\frac{3}{2}} \right]_0^1 & \\ & &= &\D \frac{\pi}{6} (5^{\frac{3}{2}}-1) & \end{array}$

Berechnung des Volumens


$\begin{align} \D V &= \D \int_{x^2+y^2 \le 1} (2+x^2-y^2)\,d(x,y) \\ &= \D \int_{r=0}^{1} \int_{t=0}^{2\pi} (2+r^2 \cos^2t-r^2 \sin^2 t)r\,dt dr \\ &= \D \int_{t=0}^{2\pi} \left[ r^2+\frac{1}{3}r^2(\cos^2 t - \sin^2 t) \right]_{r=0}^{r=1}\,dt \\ &= \D \int_{t=0}^{2\pi} (1+\frac{1}{3} (\underbrace{\cos^2t-\sin^2t}_{\cos 2t}) dt \\ &= \D \left[ t + \frac{1}{6} \sin 2t \right]_0^{2\pi} = 2 \pi \end{align}$