Aufgabe 1
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Sei $A=\left(\begin{array}{ccc}2&3&0\\3&4&1\end{array}\right)$.
Bestimmen Sie alle Matrizen $B$ mit $AB=E_2$.
-
Sei $C(\alpha)=\left(\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&3&2\\2&1&\alpha\end{array}\right)$.
Bestimmen Sie $\alpha_0$ so, dass die Determinante $|C(\alpha_0)|=1$ ist,
und berechnen Sie die Inverse von $C(\alpha_0)$.
Tipp
Die Spalten von $B=(\vec{b}_1,\vec{b}_2)$ erfüllen $A\vec{b}_i=\vec{e}_i$.
Löse diese beiden Gleichungssysteme simultan.
Lösung
1. $\D B=\Mc{2}{-4&3\\3&-2\\0&0}+s\Mc{2}{-3&0\\2&0\\1&0}+t\Mc{2}{0&-3\\0&2\\0&1}= \Mc{2}{-4&3\\3&-2\\0&0}+\V{-3\\2\\1}(s,t)$
2. Entwicklung nach der letzten Zeile:
$\det C(\alpha)=2\cdot1-1\cdot0+\alpha\cdot(-1)=2-\alpha$. Wähle $\alpha_0=1$.
$\D C(\alpha_0)^{-1}=\Mc{3}{1&-1&1\\2&-1&0\\-4&3&-1}$.
Aufgabe 2
Die lineare Abbildung $L:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ sei gegeben durch
$L\left(\begin{array}{c}3\\1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 2\\2 \end{array}\right)$ und $L\left(\begin{array}{c}5\\2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -1\\3 \end{array}\right)$.
Bestimmen Sie $\left(\begin{array}{c}1\\3 \end{array}\right)$.
Tipp
Schreibe die Gleichungen für $L$ als $L\vec{v}_i=\vec{w}_i$, $i=1,2$.
Fasse zusammen: $V=(\vec{v}_1, \vec{v}_2)$ und $W=(\vec{w}_1,\vec{w}_2)$.
Ermittle daraus eine Matrixdarstellung von $V$ und bilde $\vec{v}_3$ ab.
Lösung
Mit $V=(\vec{v}_1,\vec{v}_2)$ und $W=(\vec{w}_1,\vec{w}_2)$ ist
$V=\Mc{2}{3&5\\1&2}$ , \quad $V^{-1}=\Mc{2}{2&-5\\-1&3}$
und $W=\Mc{2}{2&-1\\2&3}$.
Daher ist die Matrixdarstellung von $L$ gegeben durch $L=WV^{-1}$ und $L\vec{v}_3=WV^{-1}\vec{v}_3$.
Mit $V^{-1}=\Mc{2}{5&-3\\-3&2}$ wird $V^{-1}\vec{v}_3=\V{-13\\8}$
und $L\vec{v}_3=W\V{-13\\8}=\V{-34\\-2}$.
Aufgabe 3
Sei
$\vec{v}_1=\V{1\\1\\0}$, $\vec{v}_2=\V{0\\0\\1}$ und
$\vec{v}_3=\V{0\\1\\1}$.
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Geben Sie die Matrix der linearen Abbildung $L$ an, die $\vec{v}_1$ auf
$\vec{v}_2$, $\vec{v}_2$ auf $\vec{v}_3$ und $\vec{v}_3$ auf $\vec{v}_1$
abbildet.
-
Wie lautet die Matrix von $L$ in der Basis $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$,
$\vec{v}_3$?
Tipp
1. Fasse die Vektoren $\vec{v}_1$ bis $\vec{v}_3$ zu einer Matrix $V$ zusammen und ebenso die Vektoren $\vec{w}_1$ bis $\vec{w}_3$ zu $W$.
Was ist dann der Zusamenhang zwischen $A$, $V$ und $W$?
Hinweis: eine Matrix wird mit einer anderen multipliziert, in dem die erste Matrix mit der Spalten der zweiten multipliziert wird, diese Ergebnisse sind die Spalten des Produkts.
2. Ist $\{\vec{x}_i\}$ eine Basis des Urbildraums und $\{\vec{y}_j\}$ eine Basis des Bildraums, so besteht die $k$-te Spalte der Matrix einer linearen Abbildung $L$ aus den Koeffizienten von $L(\vec{x}_k)$ bezüglich der Basis $\{\vec{y}_j \}$.
Lösung
1.
Ist $V$ die Matrix mit den Spalten $\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3$ und $W$ die Matrix mit den Spalten $\vec{w}_2,\vec{w}_3,\vec{w}_1$, so lautet die Bedingung fürr die Matrix $A$ von $L$:
$AV=W\LR A=WV^{-1}.$
Berechnung von $V^{-1}$ mit dem Gauß-Algorithmus:
$
\displaystyle (V|E_3)=
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&0&0&1&0&0\\1&0&1&0&1&0\\0&1&1&0&0&1\end{array}\right)
$
$\displaystyle\LR
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&0&0&1&0&0\\0&0&1&-1&1&0\\0&1&1&0&0&1\end{array}\right)
$
$\displaystyle\LR
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&0&0&1&0&0\\ 0&1&0&1&-1&1\\ 0&0&1&-1&1&0\end{array}\right) =(E_3|V^{-1})
$
Berechnung von $A=WV^{-1}$:
$\begin{array}{rl}
V^{-1}&
\Mc{3}{1&0&0\\1&-1&1\\-1&1&0}\\
W \Mc{3}{0&0&1\\0&1&1\\1&1&0}&\Mc{3}{-1&1&0\\0&0&1\\2&-1&1}=A
\end{array}$
2.
Wegen $L(\vec{v}_1)=0\cdot\vec{v}_1+1\cdot\vec{v}_2+0\cdot\vec{v}_3$ u.s.w. ist hier
$A=\Mc{3}{0&0&1\\1&0&0\\0&1&0}.$
Aufgabe 4
Seien $\vec{e}_1$ und $\vec{e}_2$ die kanonischen Einheitsvektoren
im $\bbbr^2$ und
weiter
$\vec{v}_1=\V{2\\3}$, $\vec{v}_2=\V{3\\5}$, $\vec{w}_1=\V{-1\\2}$ und
$\vec{w}_2=\V{3\\-4}$
Geben Sie Matrizen zu folgenden linearen Abbildungen an:
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$L_1$ bildet $\vec{v}_1$ auf $\vec{e}_1$ und $\vec{v}_2$ auf $\vec{e}_2$ ab
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$L_2$ bildet $\vec{e}_1$ auf $\vec{w}_1$ und $\vec{e}_2$ auf $\vec{w}_2$ ab
-
$L_3$ bildet $\vec{v}_1$ auf $\vec{w}_1$ und $\vec{v}_2$ auf $\vec{w}_2$ ab
Tipp
Fasse die Vektoren $\vec{v}_1$ und $\vec{v}_2$ zu einer Matrix $V$ zusammen, genauso $\vec{w}_1$ und $\vec{w}_2$ zu $W$ und $\vec{e}_1$ und $\vec{e}_2$ zu $E_2$.
Wie ist der Zusammenhang der Matrix von $L_i$ mit $E_2$, $V$ und $W$?
Lösung
Mit $V=\Big(\vec{v}_1,\vec{v}_2\Big)$, $W=\Big(\vec{w}_1,\vec{w}_2\Big)$ und $E_2=\Big(\vec{e}_1,\vec{e}_2\Big)$ ist
1. $L_1V=E_2\RA L_1=V^{-1}= \Mc{2}{5&-3\\-3&2}$.
2. $L_2 E_2=W\RA L_2=W=\Mc{2}{-1&3\\2&-4}$.
3. $L_3V=W\RA L_3=WV^{-1}=\Mc{2}{-14&9\\22&-14}$.
Aufgabe 5
Sei $A=\Mc{4}{1&0&1&1\\2&0&2&2\\1&1&1&0}$.
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Bestimmen Sie den Rang von $A$.
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Geben Sie eine Basis des Bilds von $A$ an.
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Geben Sie eine Orthonormalbasis des Kerns von $A$ an.
Tipp
1. Scharfes Hinsehen oder Gauß-Algorithmus
2. Das Bild ist eine Linearkombantion der Spalten
3. Mit Gauß den Kern bestimmen, dann Gram-Schmidt
Lösung
1. Gauß: $A$ wird zu $\Mc{4}{1&0&1&1\\0&0&0&0\\0&1&0&1}$.
Damit ist der Rang 2.
2. Wähle zwei linear unabängige Spalten, etwa die ersten beiden, um eine Basis des Bilds zu bestimmen.
3. Aus 1. liest man eine Basis des Kerns ab: $\vec{u}_1=\V{-1\\0\\1\\0}$ und $\vec{u}_2=\V{-1\\1\\0\\1}$.
Das Gram-Schmidt-Verfahren gibt $\vec{w}_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\V{-1\\0\\1\\0}$ und $\vec{w}_2=\frac{1}{\sqrt{10}}\V{-1\\2\\-1\\2}$ als ONB des Kerns von $A$.
