Aufgabe 1
Gesucht ist eine Nullstelle von $f(x)=x^2+2x$.
- Führen Sie von $x_0=2$ aus drei Schritte des Newtonverfahrens durch.
- Führen Sie von $x_0=-1$ und $x_1=2$ aus zwei Schritte des Sekantenverfahrens durch.
Tipp
-
Iterationsvorschrift des Newtonverfahrens:
$\D x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.$
-
Iterationsvorschrift des Sekantenverfahrens:
$\D x_{n+1}=x_n-\frac{(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}f(x_n).$
Lösung
-
$\D f'(x)=2x+2,\quad \RA x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^2+2x_n}{2x_n+2}$
Die ersten 3 Iterierten berechnen sich wie folgt:
$
\D x_1=2-\frac{4+4}{4+2}=\frac 23\\
\D x_2=\frac 23-\frac{\frac 49+\frac 43}{\frac 43+2}=\frac 23-\frac{16}{9}\frac{3}{10}=\frac{2}{15}\\
\D x_3=\frac{2}{15}-\frac{\frac{4}{15^2}+\frac{4}{15}}{\frac{4}{15}+2}=\frac {2}{15}-\frac{64}{15^2}\frac{15}{34}=\frac{34}{255}-\frac{32}{255}=\frac{2}{255}
$
-
Aus der Iterationsvorschrift des Sekantenverfahrens folgt:
$\D x_{n+1}=\frac{(x_n-x_{n-1})(x_n^2+2x_n)}{x_n^2+2_n-x_{n-1}^2-2x_{n-1}}$
Berechnung der ersten beiden Iterierten $x_2$ und $x_3$:
$
\D x_2=2-\frac{3\cdot 8}{4+4-1+2}=2-\frac 83=-\frac 23\\
\D x_3=-\frac 23-\frac{(-\frac 23-2)(\frac 49-\frac 43)}{\frac 49-\frac 43-4-4}=-\frac 23 +\frac{64}{27}\frac{9}{80}=-\frac 23+\frac{4}{15}=-\frac 25
$
Aufgabe 2
Bestimmen Sie Näherungen für Nullstelle von $f(x)=x^2-4$, indem Sie
- von $x_0=4$ aus zwei Schritte des Newton-Verfahrens durchführen.
- von $x_0=5$ und $x_1=4$ aus zwei Schritte des Sekantenverfahrens durchführen.
Tipp
-
Iterationsvorschrift des Newtonverfahrens:
$\D x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.$
-
Iterationsvorschrift des Sekantenverfahrens:
$\D x_{n+1}=x_n-\frac{(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}f(x_n).$
Lösung
-
$\D f'(x)=2x,\quad\RA x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^2-4}{2x_n}=\frac{x_n}{2}+\frac{2}{x_n}$
Damit ergeben sich die ersten beiden Iterierten zu:
$
\D x_1=\frac 42+\frac 24=\frac 52\\
\D x_2=\frac 54+\frac 45=\frac{25+16}{20}=\frac{41}{20}
$
-
Aus der Iterationsvorschrift folgt:
$
\D x_{n+1}=x_n-\frac{(x_n-x_{n-1})(x_n^2-4)}{x_n^2-4-x_{n-1}^2+4}=x_n-\frac{x_n^2-4}{x_n+x_{n-1}}\\
\D \RA x_2=4-\frac{16-4}{9}=4-\frac 43=\frac 83\\
\D x_3=\frac 83 -\frac{\frac{64}{9}-4}{\frac 83+4}=\frac 83-\frac{28}{9}\frac{3}{20}=\frac 83-\frac{7}{15}=\frac{11}{5}
$
Aufgabe 3
Zwei Größen hängen über die Formel $y=ax+b$ zusammen. Fehlerbehaftete Messungen ergeben die Werte
$
\begin{array}{r|rrrrr}
x&-2&-1&0&1&2\\
\hline
y&-9&-6&-1&1&5
\end{array}
$
Bestimmen Sie $a$ und $b$ so, dass die Summe der Quadrate der Meßfehler minimal wird.
Tipp
Lösung
Um die Summe der Quadrate der Meßfehler
$\D \sum_{i=1}^n r_i^2$
zu minimieren, wird diese als Funktion $f(a,b)$ der beiden Koeffizienten $a$ und $b$ minimiert,
wobei $f_a$ und $f_b$ die partiellen Ableitungen sind:
$
\D f(a,b)=\sum_{i=1}^n \left(ax_i+b-y_i\right)^2\\
\D f_a(a,b)=2\sum_{i=1}^n \left(ax_i+b-y_i\right)x_i\stackrel{!}{=}0\\
\D f_b(a,b)=2\sum_{i=1}^n \left(ax_i+b-y_i\right)\stackrel{!}{=}0.
$
Aus den beiden Gleichungen erhält man ein LGS, das zu folgende Lösungen führt:
$\D a=\frac{\left(\sum_{i=1}^n x_i y_i\right)-n\cdot \bar{x}\bar{y}}{\left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right)-n\cdot\bar{x}^2},\quad b=\bar{y}-a\bar{x}$
Wie aus der Tabelle schnell abzulesen ist, ist der Mittelwert der $x_i$ hier gerade $0$,
sodass sich $a$ und $b$ relativ schnell berechnen lassen:
$\D a=\frac{35}{10}=3,\!5;\quad b=-2$
Aufgabe 4
Gesucht wird die Nullstelle von $\D f(x)=\frac{x-1}{x+1}$.
Führen Sie von $x_0=2$ ausgehend zwei Schritte des Newton-Verfahrens durch.
Tipp
Iterationsvorschrift des Newtonverfahrens:
$\D x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.$
Lösung
$\D f(x)=\frac{x-1}{x+1}=1-\frac{2}{x+1},\quad f'(x)=\frac{2}{(x+1)^2}$
Aus der Interationsvorschrift folgt:
$\D x_{n+1}=x_n-\frac{x_n-1}{x_n+1}\frac{(x_n+1)^2}{2}=x_n-\frac 12(x_n-1)(x_n+1)=x_n-\frac 12(x_n^2-1).$
Damit lauten die ersten Iterierten
$
\D x_0=2,\qquad x_1=2-\frac{1}{2}\cdot 3=\frac 12,\qquad x_2=\frac 12-\frac 12\left(-\frac 34\right)=\frac{7}{8}.
$
