Aufgabe 1
- Für welche $x\in ]0,\infty[$ konvergiert $\D \Sum_{n=0}^\infty x^{nx}$ ?
Geben Sie ggf. die Reihensumme an.
- $k\in \bbbn$ fest.
Bestimmen Sie den Konvergenzradius von $\D \Sum_{n=k}^\infty {n\choose k} x^n$.
Tipp
1. $x^{nx}=(x^x)^n$, geometrische Reihe.
$x^x=e^{x\ln x}$
2. Binomialkoeffizient mit Fakultäten ausschreiben, Quotientenkriterium.
Lösung
1. $x^x<1\LR x<1$. Reihenwert $\D \frac{1}{1-x^x}$.
2. $r=1$.
Aufgabe 2
Für welche $x\in \bbbr$ konvergiert $\D \Sum_{n=0}^\infty
\frac{e^{-2nx}}{1+e^{-nx}}$ ?
Tipp
Fallunterscheidung $x<0$, $x=0$ und $x>0$.
$e^{-2nx}=e^{-nx}\cdot e^{-nx}$, $e^{-nx}=(e^{-x})^n$ und $e^{-x}<1\LR x>0$.
Lösung
Für $x>0$ ist $\D \frac{e^{-2nx}}{1+e^{-nx}}=\frac{e^{-nx}}{1+e^{-nx}} e^{-nx}< e^{-nx}$, $\sum (e^{-x})^n$ ist konvergente Majorante.
Für $x=0$ sind die Glieder $\frac{1}{2}$ und die Reihe divergiert.
$x<0:$ $\D \frac{e^{-2nx}}{1+e^{-nx}}=\frac{e^{-nx}}{1+e^{-nx}} e^{-nx}$, und $\D \frac{e^{-nx}}{1+e^{-nx}}\to 1$.
Daher divergiert die Reihe, da $e^{-x}>1$.
Aufgabe 3
Für welche $x\in \bbbr$ konvergiert
$\D \Sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{{2n \choose n}}$?
Tipp
Binomialkoeffizienten durch Fakultäten ersetzen, Quotientenkriterium.
Für den Fall, dass der Grenzwert der Quotienten eins ist, Fall gesondert untersuchen.
Lösung
Quotientenkriterium: $a_n = \D\frac{x^n}{{2n\choose n}}
\quad \left|\D\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$
$\D =
\left|\D\frac{x^{n+1}{2n\choose n}}{{2n+2\choose n+1}x^n}\right|$
$\D = |x|~ \frac{(2n)!}{n!n!}~ \frac{(n+1)!(n+1)!}{(2n+2)!} $
$\D = |x|~ \frac{(2n)!}{n!n!}~ \frac{(n+1)(n+1)n!n!}{(2n+2)(2n+1)(2n)!}$
$\D = |x|~ \frac{(n+1)(n+1)}{2(n+1)(2n+1)} \to \frac{|x|}{4} $
Für $\D \frac{|x|}{4} < 1 \Leftrightarrow |x| < 4$ konvergiert die Reihe,
für $|x| > 4$ divergiert sie.
$\D|x| = 4 : \left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = $
$\D \frac{4(n+1)(n+1)}{2(n+1)(2n+1)} = \frac{2n+2}{2n+1} \geq 1$
Also divergiert die Reihe für $|x| = 4$.
Damit konvergiert die Reihe für $|x|<4$.
Aufgabe 4
Sei $x\in \bbbr$. Untersuchen Sie $\D \Sum_{n=0}^\infty
\frac{1}{(x^2+4x+5)^n}$ auf Konvergenz und geben Sie ggf. den Reihenwert
an.
Tipp
Geometrische Reihe
Lösung
Die Reihe konvergiert für $\D \left|\frac{1}{x^2+4x+5}\right|<1$.
Wegen $x^2+4x+5=(x+2)^2+1$ ist das genau für $x\neq-2$ der Fall.
Der Reihenwert ist $\D \frac{1}{\D 1-\frac{1}{(x+2)^2+1}}=1+\frac{1}{(x+2)^2}$.
Aufgabe 5
Untersuchen Sie $\D \Sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n-3^n}$ auf Konvergenz.
Tipp
Quotientenkriterium, Wurzelkkriterium geht auch.
Lösung
$\D \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\to \frac{1}{3}$, also konvergiert die Reihe.
Aufgabe 6
Untersuchen Sie die Reihen in (i) und (ii) auf Konvergenz.
- $\D \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{1+\sqrt{k}} $
- $\D \sum_{k=1}^\infty \frac{2^k}{k^3 \,3^{k+1}}$
- Für welche $x\in \bbbr$ konvergiert $\D \sum_{k=1}^\infty (x^2-2x)^k$ ?
Geben Sie ggf. den Reihenwert an.
Tipp
1. $\sqrt{k}\le k$, finde Minorante.
2. Quotientenkriterium
3. $q=x^2-2x$ und geometrische Reihe.
Lösung
1. $\D \frac{1}{1+\sqrt{k}}\ge\frac{1}{1+k}$,
also ist $\D \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{1+k}=\sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k}$ divergente Minorante.
2. $\D \frac{a_{n+1}}{a_n}\to \frac{2}{3}<1$, also konvergiert die Reihe.
3. Geometrische Reihe, Reihenwert ist $\D \frac{1}{x^2-2x}$.
Konvergenzbereich: untersuche $|x^2-2x|<1$ mit den Fallunterscheidungen $x<0$,
$0\le x\le 2$ und $2< x$.
Konvergenz für $1-\sqrt{2}< x<1$ oder $1< x<1+\sqrt{2}$.
Aufgabe 7
Für welche $x\in \bbbr$ konvergiert
- $\D \sum_{n=2}^\infty \frac{2^n}{(\log n)^n} x^n$ ?
- $\D \sum_{n=2}^\infty \frac{2^n}{\log n} x^n$ ?
Tipp
1. Wurzelkriterium
2. Quotientenkriterium, für die Ränder des Intervalls einzelmne Untersuchungen.
Lösung
1. Das Wurzelkriterium ergibt, dass die Reihe auf $\bbbr$ konvergiert.
2. 1. Das Wurzelkriterium ergibt, dass die Reihe auf $]-\frac{1}{2},\frac{1}{2}[$ konvergiert.
Für $x=-\frac{1}{2}$ konvergiert die reihe nach dem Leibniz-Kriterium, für $x=\frac{1}{2}$ ist die harmonische Reihe eine divergente Minorante.
