\( \newcommand{\V}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\bbbr}{{\mathbb R}} \newcommand{\bbbc}{{\mathbb C}} \newcommand{\bbbl}{{\mathbb L}} \newcommand{\bbbn}{{\mathbb N}} \newcommand{\Mc}[2]{\left(\begin{array}{*{#1}{c}}#2\end{array}\right)} \newcommand{\LR}{\Leftrightarrow} \newcommand{\RA}{\Rightarrow} \newcommand{\D}{\displaystyle} \newcommand{\Sum}{\sum\limits} \)

Aufgabe 1

Bestimmen Sie die Koeffizienten $c_{-3}$, $c_{-2}$, $c_{-1}$ und $c_0$ der Laurententwicklung von $f(z)=\D\frac{1}{\sin z}$ in $z_0=0$.

Tipp


Lösung

Aufgabe 2

Berechnen Sie $\D \int_{|z+i|=\frac{5}{2}}\,\frac{1}{z^2(z^2-4z+5)}\,dz$.

Tipp


Lösung

Aufgabe 3

Berechnen Sie $\D \int_{|z-i|=3} \frac{2}{z\sinh z}\, dz$

Tipp


Lösung

Aufgabe 4

Berechnen Sie $\D \int_{|z-2|=5/2} \frac{e^z-1}{z^2\cos z}\,dz$.

Tipp


Lösung

Aufgabe 5

Berechnen Sie $\D \int_0^{2\pi} \frac{\cos x}{5-3\cos x}\,dx$

Tipp


Lösung

Aufgabe 6

Berechnen Sie $\D \int_{|z-\frac{1}{2}|=1} \frac{z+1}{z \sin \pi z}\, dz$

Tipp


Lösung

Aufgabe 7

Berechnen Sie $\D \int_{-\infty}^\infty \frac{x^2}{x^4+4x^2+3}\,dx$.

Tipp


Lösung

Aufgabe 8

Berechnen Sie $\D \int_{-\infty}^\infty \frac{x^2+4x+4}{x^4+5x^2+4}\,dx$

Tipp


Lösung

Aufgabe 9

  1. Berechnen Sie $\D \int_{-\infty}^\infty \frac{x^2+2x+2}{x^4+5x^2+4}\, dx$
  2. Bestimmen Sie alle $z\in \bbbc$ mit $\cos z=1$


Tipp


Lösung