Aufgabe 1
Bestimmen Sie die Koeffizienten $c_{-3}$, $c_{-2}$, $c_{-1}$ und $c_0$ der Laurententwicklung von $f(z)=\D\frac{1}{\sin z}$ in $z_0=0$.
Tipp
- Nutze die Integraldarstellung der Koeffizienten: $\D c_n = \frac{1}{2 \pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\,dz$ für $n \in \bbbn$
- Nutze den Residuensatz, um die Integrale zu berechnen.
Lösung
Da $\sin z$ in $z_0=0$ eine einfache Nullstelle besitzt, hat
$f(z)=\frac{1}{\sin z}$ in $z_0$ einen Pol 1. Ordnung.
Daher ist $c_{-3} = c_{-2} = 0$.
1. Berechnung von $c_{-1}$:
$\begin{align}
\D c_{-1} &= \oint \frac{1}{\sin z}\,dz = Res(\frac{1}{\sin z}, 0) \\
&= \lim\limits_{z \rightarrow 0}z \frac{1}{\sin z}
\overset{"\frac{0}{0}"}{=} \lim\limits_{z \rightarrow 0} \frac{1}{\cos z}
= \frac{1}{\cos 0} = 1
\end{align}$
An der Stelle $"\frac{0}{0}"$ wurde die Regel von L'Hospital angewandt.
2. Berechnung von $c_0$:
$\D c_0 = \oint \frac{1}{z \sin z}\,dz = Res(\frac{1}{z \sin z}, 0)$
In diesem Fall ist $z_0 = 0$ ein doppelter Pol. Das Residuum berechnet sich also wie folgt:
$\begin{align}
\D c_0 &= \lim\limits_{z \rightarrow 0} \frac{d}{dz} \left( z^2 \frac{1}{z \sin z} \right)
= \lim\limits_{z \rightarrow 0} \frac{d}{dz} \left( \frac{z}{\sin z} \right) \\
&= \lim\limits_{z \rightarrow 0} \frac{\sin z - z \cos z}{\sin^2 z}
\overset{"\frac{0}{0}"}{=} \lim\limits_{z \rightarrow 0} \frac{\cos z - \cos z + z \sin z}{2 \sin z \cos z} \\
&= \lim\limits_{z \rightarrow 0} \frac{z}{2 \cos z} = 0
\end{align}$
Damit lauten die gesuchten Koeffizienten: $c_{-3} = c_{-2} = c_0 = 0, \, c_{-1} = 1$.
Aufgabe 2
Berechnen Sie $\D \int_{|z+i|=\frac{5}{2}}\,\frac{1}{z^2(z^2-4z+5)}\,dz$.
Tipp
- Bestimme die Polstellen und deren Ordnung.
- Berechne das Integral mithilfe des Residuensatzes.
Lösung
1. Nullstellen des Nenners bestimmen:
$z^2(z^2-4z+5)=0 \RA z^2=0 \vee z^2-4z+5=0$
$z^2-4z+5=(z-2)^2+1=0 \LR z_2,z_3 = 2 \pm i$
Somit sind $z_1=0$ und $z_2,z_3 = 2 \pm i$ die Nullstellen, wobei $z_1=0$ eine doppelte Nullstelle ist.
Wegen $|2+i+i|=|2+2i|=2 \sqrt{2} > \frac{5}{2}$ liegen nur $z_1=0$ und $z_3=2-i$ im Inneren der Kurve.
2. Berechnung des Integrals mithilfe des Residuensatzes:
$\D \int_{|z+i|=\frac{5}{2}}\,\frac{1}{z^2(z^2-4z+5)}\,dz = 2 \pi i \left( Res(f(z),0) + Res(f(z), 2-i) \right)$
2.1 Berechnung des Residuums der Polstelle zweiter Ordnung $z_1=0$:
$\begin{align}
\D Res(f(z),0)
&= \lim\limits_{z \rightarrow 0} (\frac{d}{dz}) z^2 \frac{1}{z^2(z^2-4z+5)} \\
&= \lim\limits_{z \rightarrow 0} (\frac{d}{dz}) \frac{1}{z^2-4z+5} \\
&= \lim\limits_{z \rightarrow 0} - \frac{(2z-4)}{(z^2-4z+5)^2} = \frac{4}{25}
\end{align}$
2.2 Berechnung des Residuums der Polstelle erster Ordnung $z_3=2-i$:
$\begin{align}
\D Res(f(z), 2-i)
&= \lim\limits_{z \rightarrow 2-i} (z-(2-i)) \frac{1}{z^2((z-(2+i)(z-(2-i))} \\
&= \lim\limits_{z \rightarrow 2-i} \frac{1}{z^2(z-(2+i))} \\
&= \frac{1}{(2-i)^2 (2-i-2-i)} \\
&= \frac{1}{(3-4i)(-2i)} = \frac{1}{-8-6i} = \frac{-8+6i}{100} = \frac{-4+3i}{50}
\end{align}$
Somit lautet das Ergebnis:
$\begin{align}
\D \int_{|z+i|=\frac{5}{2}}\,\frac{1}{z^2(z^2-4z+5)}\,dz
&= 2 \pi i \left(Res(f(z),0) + Res(f(z), 2-i) \right) \\
&= 2 \pi (\frac{8}{50} - \frac{4}{50} + \frac{3i}{50}) \\
&= \pi (\frac{8i}{50} - \frac{6}{50}) \\
&= - \frac{3}{25} \pi + \frac{4}{25} \pi i
\end{align}$
Aufgabe 3
Berechnen Sie $\D \int_{|z-i|=3} \frac{2}{z\sinh z}\, dz$
Tipp
Nutze die Darstellung des Sinus-Hyperbolicus durch Exponentialfunktionen, um die Nullstellen zu bestimmen.
$\sinh z = \frac{1}{2}(e^x - e^{-x})$
Lösung
1. Bestimmung der Nullstellen des Nenners:
$\sinh z = 0 \LR \frac{1}{2}(e^z - e^{-z}) = 0 \LR e^{2z}=1$
$\LR 2z = 2k \pi i \LR z = k \pi i$ mit $k \in \bbbn$
Innerhalb des Kreises liegen nur $z_1=0$ (Pol 2. Ordnung) und $z_2=\pi i$ (Pol 1. Ordnung).
Berechnung des Integrals mithilfe des Residuensatzes:
$\D \int_{|z-i|=3} \frac{2}{z\sinh z}\, dz = 2\pi i (Res(\frac{2}{z \sinh z},0) + Res(\frac{2}{z \sinh z}, \pi i))$
Berechnung des Residuums in $z_1=0$ (Polstelle 2. Ordnung):
$\begin{align}
\D Res(\frac{2}{z \sinh z},0)
&= \lim\limits_{z \rightarrow 0} (\frac{d}{dz}) \frac{2z}{z \sinh z}
\\
&= \lim\limits_{z \rightarrow 0} \frac{2(\sinh z - z \cosh z)}{\sinh^2 z} \\
&\overset{"\frac{0}{0}"}{=} \lim\limits_{z \rightarrow 0} \frac{2(\cosh z - \cosh z - z \sinh z)}{2 \sinh z \cosh z} \\
&=\lim\limits_{z \rightarrow 0} - \frac{2z}{2 \cosh z} \\
&=0
\end{align}$
Berechnung des Residuums in $z_2=\pi i$:
$\begin{align}
\D Res(\frac{2}{z \sinh z}, \pi i)
&= \lim\limits_{z \rightarrow \pi i} \frac{2 \pi i }{z \sinh z} \\
&\overset{"\frac{0}{0}"}{=} \lim\limits_{z \rightarrow \pi i} \frac{2}{\sinh + z \cosh z} \\
&=\frac{2}{\sinh \pi i + \pi i \cosh \pi i} \\
&= \frac{2}{\pi \frac{i}{2} (e^{\pi i} + e^{-\pi i})} \\
&=\frac{4}{\pi i(-1-1)} \\
&= \frac{-2}{\pi i} \\
\end{align}$
Somit lautet das Ergebnis:
$\D \int_{|z-i|=3} \frac{2}{z\sinh z}\, dz = 2\pi i(0-\frac{2}{\pi i})=-4$
Aufgabe 4
Berechnen Sie $\D \int_{|z-2|=5/2} \frac{e^z-1}{z^2\cos z}\,dz$.
Tipp
- Bestimme die Polstellen und deren Ordnung.
- Berechne das Integral mithilfe des Residuensatzes.
Lösung
1. Nullstellen des Nenners bestimmen:
Sei $\D f(z):=\frac{g(z)}{h(z)} = \frac{e^z-1}{z^2 \cos z}$.
$h(z)=0 \LR z^2 \cos z = 0 \LR z^2=0 \vee \cos z=0$
Damit ist $z_1=0$ doppelte Nullstelle des Nenners und $z_{2_k}=\frac{\pi}{2}+k\pi$ mit $k \in \bbbn$ sind einfache Nullstellen des Nenners.
Im Integrationsgebiet liegen nur $z_1=0$ und $z_2=\frac{\pi}{2}$.
2. Berechnung des Integrals mithilfe des Residuensatzes:
$\D \int_{|z-2|=5/2} \frac{e^z-1}{z^2\cos z}\,dz = 2\pi i \left( Res(f(z), z_1=0) + Res(f(z), z_2=\frac{\pi}{2}) \right)$
Da $g(z)=e^z-1$ in $z_1=0$ eine einfache Nullstelle besitzt, ist $z_1=0$ ebenfalls ein Pol 1. Ordnung.
2.1 Berechnung des Residuums der Polstelle erster Ordnung $z_1=0$:
$\begin{align}
Res\left( \frac{e^z-1}{z^2 \cos z}, 0 \right)
&= \lim\limits_{z \rightarrow 0} \left( \frac{z(e^z-1)}{z^2} \frac{1}{\cos z} \right) \\
&= \left( \lim\limits_{z \rightarrow 0} \underbrace{\frac{e^z-1}{z}}_{\text{Jetzt L'Hospital}} \right) \left(\lim\limits_{z \rightarrow 0} \frac{1}{\cos z} \right) \\
&= \left( \lim\limits_{z \rightarrow 0} \frac{e^z}{1} \right) \left( \lim\limits_{z \rightarrow 0} \frac{1}{\cos z} \right) \\
&= 1
\end{align}$
2.2 Berechnung des Residuums der Polstelle erster Ordnung $z_2=\frac{\pi}{2}$:
$\begin{align}
Res(\frac{e^z-1}{z^2 \cos z}, \frac{\pi}{2})
&= \lim\limits_{z \rightarrow \frac{\pi}{2}} \left( \frac{e^z-1}{z^2} \frac{z-\frac{\pi}{2}}{\cos z} \right)\\
&= \left( \lim\limits_{z \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{e^z - 1}{z^2} \right) \left( \lim\limits_{z \rightarrow \frac{\pi}{2}} \underbrace{\frac{z- \frac{\pi}{2}}{\cos z}}_{\text{Jetzt L'Hospital}} \right) \\
&= \frac{e^{\frac{\pi}{2}} - 1}{(\frac{\pi}{2})^2} \cdot \lim\limits_{z \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{1}{- \sin z} \\
&= - \frac{4(e^{\frac{\pi}{2}}-1)}{\pi^2}
\end{align}$
Somit lautet das Ergebnis:
$\D \int_{|z-2|=5/2} \frac{e^z-1}{z^2\cos z}\,dz = 2\pi i \left( 1 - \frac{4(e^{\frac{\pi}{2}}-1)}{\pi^2} \right)$
Aufgabe 5
Berechnen Sie $\D \int_0^{2\pi} \frac{\cos x}{5-3\cos x}\,dx$
Tipp
- Nutze die Darstellung des $\cos x$ mithilfe der Exponentialfunktion und substituiere $z=e^{ix}$.
- Nutze folgende Definition: $\D \int_0^{2\pi} f(x) = 2\pi \sum_{|z_k < 1|} Res \left( f(z) \right)$.
- Bestimme die Nullstellen des Nenners und berechne anschließend die Residuen.
Lösung
1. Berechnung eines reellen Integrals - Definitionen und Vorbereitung:
$\D f(x) = \frac{\cos x}{5-3\cos x}\,dx$
Mit der Substitution $z=e^{ix}$ folgt für $\cos x$:
$\D \cos x = \frac{1}{2} \left( e^{ix} + e^{-ix} \right) = \frac{1}{2} \left( z + \frac{1}{z} \right)$
Eingesetzt in $f(x)$ liefert $f(z)$:
Es sei $\D f(z)= \frac{\frac{1}{2}(z+\frac{1}{z})}{5-3\cdot \frac{1}{2}(z+\frac{1}{z})} \frac{1}{z}$
Weitere Umformungen führen zu:
$\D f(z) = \frac{z^2+1}{-3z^2+10z-3} \frac{1}{z} = \frac{z^2+1}{-3z^2+10z^2-3z} = \frac{z^2+1}{z(-3z^2+10z-3)}$
Per Definition gilt:
$\D \int_0^{2\pi} f(x) = 2\pi \sum_{|z_k < 1|} Res \left( f(z) \right)
= 2\pi \sum_{|z_k < 1|} Res \left( \frac{\frac{1}{2}(z+\frac{1}{z})}{5-3\cdot \frac{1}{2}(z+\frac{1}{z})} \frac{1}{z} \right)
= 2\pi \sum_{|z_k < 1|} Res \left( \frac{z^2+1}{z(-3z^2+10z-3)} \right)$
2. Nullstellen des Nenners berechnen:
$z(-3z^2+10z-3) = 0 \LR z=0 \vee -3z^2+10z-3=0$
$\D \RA -3z^2+10z-3=0 \LR z^2-\frac{10}{3}z+1=0 \LR z_1,z_1 = \frac{5}{3} \pm \sqrt{\frac{25-9}{9}} = \frac{5}{3} \pm \frac{4}{3}$
Die Nullstellen des Nenners sind also: $z_1=0$, $z_2=\frac{1}{3}$ und $z_3=3$.
Nur die Nullstellen $z_1=0$ und $z_2=\frac{1}{3}$ liegen im Integrationsgebiet $|z|=1$.
3. Berechnung der Residuen:
$\D Res(f(z),0) = \frac{z^2+1}{-9z^2+20z-3} \Bigg|_{z=0} = - \frac{1}{3}$
$\D Res(f(z),\frac{1}{3}) = \frac{z^2+1}{-9z^2+20z-3} \Bigg|_{z=\frac{1}{3}}
= \frac{\frac{1}{9}+1}{-1+\frac{20}{3}-3} = \frac{5}{12}$
Somit lautet das Ergebnis:
$\D \int_0^{2\pi} f(x) = \int_0^{2\pi} \frac{\cos x}{5-3\cos x}\,dx = 2\pi \left( Res(f(z), z=0) + Res(f(z), z=\frac{1}{3}) \right)
= 2 \pi \left( - \frac{1}{3} + \frac{5}{12} \right) = 2\pi \frac{1}{12} = \frac{\pi}{6}$
Aufgabe 6
Berechnen Sie $\D \int_{|z-\frac{1}{2}|=1} \frac{z+1}{z \sin \pi z}\, dz$
Tipp
Lösung
1. Nullstellen des Nenners bestimmen:
Der Nenner hat bei $z=0$ eine doppelte und bei $z=k, k \in \bbbn$ eine einfache Nullstelle.
Im Integrationsgebiet liegen allein $z_1=0$ und $z_2=1$.
Daher ist $z_1=0$ ein Pol 2. Ordnung und $z_2=1$ ein Pol 1. Ordnung.
2. Berechnung des Integrals mithilfe des Residuensatzes:
Es sei $f(z) = \frac{z+1}{z \sin \pi z}$
$\D \int_{|z-\frac{1}{2}|=1} f(z)\,dz = 2\pi i \left( Res(f(z),0) + Res(f(z), 1) \right)$
2.1 Berechnung des Residuums der Polstelle zweiter Ordnung $z_1=0$:
$\begin{align}
\D Res(\frac{z+1}{z \sin \pi z},0)
&= \lim\limits_{n \rightarrow 0} \frac{d}{dz} \frac{z^2(z+1)}{z \sin \pi z} \\
&= \lim\limits_{n \rightarrow 0} \frac{d}{dz} \frac{z^2+z}{\sin \pi z} \\
&= \lim\limits_{n \rightarrow 0} \frac{(2z+1) \sin \pi z - (z^2+2) \pi \cos \pi z}{(sin \pi z)^2} \\
&\overset{"\frac{0}{0}"}{=} \lim\limits_{n \rightarrow 0} \frac{2 \sin \pi z + (2z+1) \pi \cos \pi z - (2z+1) \pi \cos \pi z + (z^2+z) \pi^2 \sin \pi z}{2 \pi \sin \pi z \cos \pi z} \\
&= \lim\limits_{n \rightarrow 0} \frac{(2+(z^2+z) \pi^2) \sin \pi z}{2 \pi \sin \pi z \cos \pi z} \\
&= \frac{1}{\pi}
\end{align}$
2.2 Berechnung des Residuums der Polstelle erster Ordnung $z_2=1$:
$\begin{align}
\D Res(\frac{z+1}{z \sin \pi z}, 1)
&= \frac{z+1}{\sin \pi z + z \pi \cos \pi z} \Bigg|_{z=1} \\
&= \frac{2}{0 - \pi} \\
&= - \frac{2}{\pi}
\end{align}$
Das Ergebnis lautet somit:
$\D \int_{|z-\frac{1}{2}|=1} \frac{z+1}{z \sin \pi z}\, dz = 2 \pi i (\frac{1}{\pi} - \frac{2}{\pi}) = -2 i$
Aufgabe 7
Berechnen Sie $\D \int_{-\infty}^\infty \frac{x^2}{x^4+4x^2+3}\,dx$.
Tipp
- Bestimme die Polstellen und deren Ordnung.
- Berechne das Integral mithilfe des Residuensatzes.
Lösung
Sei $\D f(x):=\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{x^2}{x^4+4x^2+3}$
Der Grad von $P(x)$ ist $2$ und der Grad des Nenners $Q(x)$ ist $4$. Somit ist $Grad P(x) = Grad Q(x) +2$ und damit existiert das Integral.
1. Nullstellen des Nenners bestimmen:
Der Nenner hat keine reellen Nullstellen.
Eine Zerlegung in Linearfaktoren ergibt:
$Q(x) = x^4+4x^2+3 = (x^2+1)(x^2+3)$
Nullstellen mit $Im(z) > 0$ sind $z_1=i$ und $z_2=\sqrt{3}i$. Die Funktion besitzt dort einfache Pole.
2. Berechnung des Integrals mithilfe des Residuensatzes:
$\D \int_{-\infty}^\infty \frac{x^2}{x^4+4x^2+3}\,dx = 2\pi i \left( Res(\frac{x^2}{x^4+4x^2+3},i) + Res(\frac{x^2}{x^4+4x^2+3}, \sqrt{3}i) \right)$
2.1 Berechnung des Residuums der Polstelle erster Ordnung $z_1=i$:
$\begin{align}
Res \left( \frac{x^2}{x^4+4x^2+3},i \right)
&= \frac{x^2}{4x^3+8x} \Bigg|_{x=i} \\
&= \frac{-1}{-4i+8i} \\
&= - \frac{1}{4i} \\
&= \frac{i}{4}
\end{align}$
2.2 Berechnung des Residuums der Polstelle erster Ordnung $z_1=\sqrt{3} i$:
$\D \begin{align}
Res \left( \frac{x^2}{x^4+4x^2+3}, \sqrt{3} i \right)
&= \frac{x^2}{x(4x^2+8)} \Bigg|_{x=\sqrt{3}i} \\
&= - \frac{\sqrt{3}}{4} i
\end{align}$
Somit lautet das Ergebnis:
$\D \int_{-\infty}^\infty \frac{x^2}{x^4+4x^2+3}\,dx = 2 \pi i \left( \frac{i}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4}i \right) = \frac{\pi}{2} (\sqrt{3} - 1)$
Aufgabe 8
Berechnen Sie $\D \int_{-\infty}^\infty
\frac{x^2+4x+4}{x^4+5x^2+4}\,dx$
Tipp
- Bestimme die Polstellen und deren Ordnung.
- Berechne das Integral mithilfe des Residuensatzes.
Lösung
Sei $\D f(x):=\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{x^2+4x+4}{x^4+5x^2+4}$.
Der Grad des Zählers $P(x)$ ist 2 und der Grad des Nenners $Q(x)$ 4. Damit existiert das Integral.
1. Nullstellen des Nenners bestimmen:
Eine Zerlegung des Nenners in Linearfaktoren ergibt:
$Q(x) = x^4+5x^2+4 = (x^2+4)(x^2+1)$
Die Nullstellen, dessen Imaginärteil größer null sind, lauten: $z_1 = 2i$ und $z_2 = i$.
Beides sind einfache Pole der Funktion $f(x)$.
2. Berechnung des Integrals mithilfe des Residuensatzes:
$\D \int_{-\infty}^\infty \frac{x^2+4x+4}{x^4+5x^2+4}\,dx = 2 \pi i \left( Res(f(x), 2i) + Res(f(x), i) \right)$
2.1 Berechnung des Residuums der Polstelle erster Ordnung $z_1=2i$:
$\begin{align}
Res(\frac{x^2+4x+4}{x^4+5x^2+4}, 2i)
&= \frac{(x+2)^2}{4x^3+10x} \Bigg|_{x=2i} \\
&= \frac{(2+2i)^2}{4\cdot (-8i) + 20i} \\
&= \frac{8i}{-12i} \\
&= - \frac{2}{3}
\end{align}$
2.2 Berechnung des Residuums der Polstelle erster Ordnung $z_1=i$:
$\begin{align}
Res(\frac{x^2+4x+4}{x^4+5x^2+4}, i)
&= \frac{(x+2)^2}{4x^3+10x} \Bigg|_{x=i} \\
&= \frac{(2+i)^2}{-4i+10i} \\
&= \frac{3+4i}{6i} \\
&= \frac{2}{3} - \frac{i}{2}
\end{align}$
Somit lautet das Ergebnis:
$\D \int_{-\infty}^\infty \frac{x^2+4x+4}{x^4+5x^2+4}\,dx = 2 \pi i \left(-\frac{2}{3} + \frac{2}{3} - \frac{i}{2} \right) = \pi$
Aufgabe 9
- Berechnen Sie $\D \int_{-\infty}^\infty \frac{x^2+2x+2}{x^4+5x^2+4}\, dx$
- Bestimmen Sie alle $z\in \bbbc$ mit $\cos z=1$
Tipp
Zu 1:
- Bestimme die Polstellen und deren Ordnung.
- Berechne das Integral mithilfe des Residuensatzes.
Zu 2:
- Nutze die Darstellung des $\cos z$ mithilfe der Exponentialfunktion.
- $\cos z = \frac{1}{2} (e^{iz} + e^{-iz})$
Lösung
Aufgabenteil 1
Sei $\D f(x) := \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{x^2+2x+2}{x^4+5x^2+4}$.
Der Grad des Nenners $Q(x)$ ist 4 und somit um zwei größer als der Grad des Zählers $P(x)$. Damit existiert das Integral.
1. Nullstellen des Nenners bestimmen:
Der Nenner besitzt keine reellen Nullstellen.
Eine Zerlegung des Nenners in Linearfaktoren ergibt:
$Q(x) = x^4+5x+4 = (x^2+4)(x^2+1)$
Nullstellen mit $Im(z) > 0$ sind $z_1 = i$ und $z_2 = 2i$.
Beide Nullstellen sind Pole erster Ordnung der Funktion $f(x)$.
2. Berechnung des Integrals mithilfe des Residuensatzes:
$\D \int_{-\infty}^\infty \frac{x^2+2x+2}{x^4+5x^2+4}\, dx = 2\pi i \left( Res(f(x), i) + Res(f(x), 2i) \right)$
2.1 Berechnung des Residuums der Polstelle erster Ordnung $z_1=i$:
$\begin{align}
Res(\frac{x^2+2x+2}{x^4+5x^2+4}, i)
&= \frac{x^2+2x+2}{x^4+5x^2+4} \Bigg|_{x=i} \\
&= \frac{i^2+2i+2}{4i^3+10i} \\
&= \frac{1+2i}{6i}
\end{align}$
2.1 Berechnung des Residuums der Polstelle erster Ordnung $z_1=2i$:
$\begin{align}
Res(\frac{x^2+2x+2}{x^4+5x^2+4}, 2i)
&= \frac{x^2+2x+2}{x^4+5x^2+4} \Bigg|_{x=2i} \\
&= \frac{4i^2+4i+2}{32i^3+20i} \\
&= \frac{-2+4i}{-12i} \\
&= \frac{1-2i}{6i}
\end{align}$
Somit lautet das Ergebnis:
$\D \int_{-\infty}^\infty \frac{x^2+2x+2}{x^4+5x^2+4}\, dx
= 2\pi i \left( \frac{1+2i}{6i} + \frac{1-2i}{6i} \right)
= 2 \pi i (\frac{1}{3i} )
= \frac{2}{3} \pi$
Aufgabenteil 2
Im Folgenden wird die Darstellung des Cosinus mithilfe der Exponentialfunktion verwendet:
$\begin{align}
\cos z &= 1 \\
\frac{1}{2} (e^{iz} + e^{-iz}) &= 1 \\
e^{iz} + e^{-iz} &= 2 \\
\end{align}$
Mit der Substitution $u = e^{iz}$ folgt:
$\begin{align}
u + \frac{1}{u} &= 2 \\
u^2-2u+1 &= 0 \\
(u-1)^2 &= 0 \LR u = 1
\end{align}$
Nach der Rücksubstitution folgt die Lösung: $e^{iz} = 1\; \LR \; iz = 2 k \pi i, k \in \bbbn \LR \; z = 2 k \pi, k \in \bbbn$