Aufgabe 1
Sei $\D A=\Mc{4}{2&4&4&2\\1&2&2&2}$ und
$U=\{ \vec{x}\, |\, A\vec{x}=\vec{0} \}$.
Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von $U$.
Tipp
Zunächst mit dem Gauß-Verfahren das homogene Gleichungssystem $A\vec{x}=\vec{0}$ lösen, dann Gram-Schmidt.
Lösung
Gaußverfahren zur Bestimmung von $U$:
$\D \Mc{4}{2&4&4&2\\1&2&2&2}\LR$ $ \Mc{4}{1&2&2&2\\0&0&0&-2}\LR $
$\Mc{4}{1&2&2&0\\0&0&0&1} $
Die zweite Zeile besagt $x_4=0$,
und man kann $x_2=s$ und $x_3=t$ als Parameter wählen. Die
erste Zeile besagt dann $x_1=-2x_2-2x_3$.
$\D \vec{x}\in U\LR
\vec{x}=\V{-2s-2t\\s\\t\\0}=$ $s\V{-2\\1\\0\\0}+t\V{-2\\0\\1\\0}
=s\vec{v}_1+t\vec{v}_2. $
Jetzt wird das Gram-Schmidtsche-Orthogonalisierungsverfahren auf $\vec{v}_1$
und $\vec{v}_2$ angewendet. $\vec{v}_1$ braucht nur noch normiert zu werden:
$\D
\vec{w_1}=\frac{1}{\|\vec{v}_1\|}\vec{v}_1$ $
=\frac{1}{\sqrt{5}}\V{-2\\1\\0\\0} $
$ \vec{u}_2=\vec{v}_2-(\vec{v}_2\cdot \vec{w}_1)\vec{w}_1= $
$\V{-2\\0\\1\\0}-\Big(
\frac{1}{\sqrt{5}}\V{-2\\0\\1\\0}\V{-2\\1\\0\\0\\}\Big)
\frac{1}{\sqrt{5}}\V{-2\\1\\0\\0}$ $=\V{-2\\0\\1\\0}-
\frac{4}{5} \V{-2\\1\\0\\0}=$ $\frac{1}{5}\V{-2\\-4\\5\\0}
$
Das zweite Element der Orthonormalbasis ist
$\D \vec{w}_2=\frac{1}{\|\vec{u}_2\|}\vec{u}_2$ $
=\frac{1}{\sqrt{45}}\V{-2\\-4\\5\\0}=$ $\frac{1}{3\sqrt{5}}\V{-2\\-4\\5\\0}$.
Aufgabe 2
Sei $\vec{u}_1=\V{0\\1\\2\\2}$, $\vec{u}_2=\V{2\\2\\4\\4}$ und
$\vec{u}_3=\V{0\\1\\0\\1}$.
Wenden Sie das Gram-Schmidt-Verfahren auf $\vec{u}_1$ bis $\vec{u}_3$ an und
ergänzen Sie das Resultat zu einer Orthonormalbasis des $\bbbr^4$
Tipp
Um ein gegebenes ONS zu einer ONB zu ergänzen, sucht man einen (möglichst einfachen) Vektor und macht mit Gram-Schmidt weiter.
Lösung
Es ist $\vec{v}_1=\vec{u}_1$ und $\D \vec{w}_1=\frac{1}{3}\V{0\\1\\2\\2}$.
$\D \vec{v}_2=\vec{u}_2-<\vec{u}_2,\vec{v}_1>\vec{v}_1=$ $
\V{2\\2\\4\\4}-\frac{1}{9}<\V{2\\2\\4\\4},\V{0\\1\\2\\2}>\V{0\\1\\2\\2} $ $
=\V{2\\2\\4\\4}-2 \V{0\\1\\2\\2}$ $
=\V{2\\0\\0\\0}$ und
$\vec{w}_2=\V{1\\0\\0\\0}$.
Wegen $<\vec{w}_2,\vec{u}_3>=0$ ist
$\D \vec{v}_3=\vec{u}_3-<\vec{u}_3,\vec{v}_1>\vec{v}_1=$ $
\V{0\\1\\0\\1}-\frac{1}{9}<\V{0\\1\\0\\1},\V{0\\1\\2\\2}>\V{0\\1\\2\\2}$ $
=\V{0\\1\\0\\1}-\frac{1}{3}\V{0\\1\\2\\2}$ $=\frac{1}{3}\V{0\\2\\-2\\1}
$ und damit $\D \vec{w}_3=\frac{1}{3}\V{0\\2\\-2\\1}$
Um eine ONB des $\bbbr^4$ zu erhalten, nimmt man einen beliebigen (aber
möglichst einfachen) von $\vec{u}_1$ bis $\vec{u}_3$ linear unabhängigen
Vektor hinzu und wendet das Orthonormalisierungsverfahren noch einmal an.
Wähle also $\vec{u}_4=\vec{e}_2$.
$\D \vec{v}_4=\V{0\\1\\0\\0}-\frac{1}{9}\V{0\\1\\2\\2}-0\V{1\\0\\0\\0}-
\frac{1}{9}\V{0\\2\\-1\\1}$ $=\frac{1}{9}\V{0\\4\\2\\4}$ und damit
$\D \vec{w}_4=\frac{1}{3}\V{0\\2\\1\\-2}$.
Aufgabe 3
Sei $\vec{v}_1=\frac{1}{3}\V{2\\1\\2}$ und
$\vec{v}_2=\V{3\\0\\\alpha}$.
Bestimmen Sie $\alpha\in\bbbr $ so, dass $\vec{v}_1$ und $\vec{v}_2$
senkrecht aufeinander stehen. Normieren Sie $\vec{v}_2$ und ergänzen Sie
diese Vektoren zu einer Orthonormalbasis des $\bbbr^3$.
Tipp
Skalarprodukt bilden, Null setzen und nach $\alpha$ auflösen.
Gram-Schmidt mit drittem Vektor oder benutzen, dass man im $\bbbr^3$ ist.
Lösung
Die Vektoren stehen für $\alpha=-3$ senkrecht aufeinander, Normierung ergibt $\D\vec{w}_2=\frac{1}{\|\vec{v}_2}\|\vec{v}_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\V{1\\0\\-1}$.
Um einen dritten Vektor der ONB zu bestimmen kann man
entweder einen linear unabhängigen Vektor (z.B. $\vec{v}_3=\V{1\\0\\0}$) dazunehmen und das Gram-Schmidt-Verfahren durchführem
oder das Kreuzprodukt von $\vec{v}_1$ und $\vec{w}_2$ bilden.
Man erhält $\D \vec{w}_3=\pm \frac{1}{3\sqrt{2}}\V{1\\-4\\1}$.
Aufgabe 4
Sei $\vec{a}=\V{1\\1\\0\\-6}$ und $\vec{b}=\V{2\\2\\-3\\0}$.
Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von
$V=\{\vec{x}\in \bbbr^4\,\mid\, <\vec{x},\vec{a}>=<\vec{x},\vec{b}>=0 \}$.
Tipp
$\langle x,a\rangle=0$ ist eine Zeile eines Gleichungssystems, $\langle x,b\rangle=0$ ebenso.
Kern bestimmen und Gram-Schmidt.
Lösung
Die Elemente von $V$ sind die Lösungen des homogenen Gleichungssystems mit der Matrix $\Mc{4}{1&1&0&-6\\2&2&-3&0}$.
Eine Basis von $V$ ist z.B. $\vec{u}_1=\V{-1\\1\\0\\0}$ und $\vec{u_2}=\V{6\\0\\4\\1}$.
Gram-Schmidt macht daraus $\vec{w}_1=\vec{v_1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\V{-1\\1\\0ß\\0}$ und $\vec{w}_2=\frac{1}{\sqrt{35}}\V{3\\3\\4\\1}$.
Achtung! ONB sind nicht eindeutig.
Aufgabe 5
Sei $A=\Mc{4}{-2&1&3&3\\5&-3&-7&-7}$.
Geben Sie eine Orthonormalbasis des Kerns von $A$ an.
Tipp
Kern mit Gauß, ONB mit Gram-Schmidt
Lösung
Eine Basis des Kerns ist $\vec{u}_1=\V{2\\1\\1\\0}$ und $\vec{u}_2=\V{2\\1\\0\\1}$.
Gram-Schmidt: $\vec{w}_1=\frac{1}{\sqrt{6}}\V{2\\1\\1\\0}$ und $\vec{w}_2=\frac{1}{\sqrt{66}}\V{2\\1\\-5\\6}$
Aufgabe 6
- Sei $\vec{u}=\V{2\\1\\2}$ und $\vec{v}=\V{1\\4\\1}$.
Bestimmen Sie alle $\vec{w}\in\bbbr^3$ mit der Eigenschaft,
dass das Spatprodukt $(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}$ den Wert 7 hat.
- Sei $A\in {\mathbb M}_n({\mathbb K}) $ mit $\det A=1$.
Berechnen Sie $\det (2A)$.
Tipp
- Berechne erst $\vec{u}\times\vec{v}$, und dann t Gauß alle in Frage kommenden $\vec{w}$.
- $\det(v_1,v_2,\ldots,v_{k-1},\alpha v_k,v_{k+1},\ldots,v_n)=\alpha \det(v_1,\ldots,v_n)$
Lösung
-
Wegen $\vec{u}\times\vec{v}=\V{-7\\0\\7}$ ist $\vec{w}_0=\V{0\\0\\1}$ eine mögliche Lösung.
Der Rang des Gleichungssystem ist eins, daher gibt es 3-1=2 freie Parameter. Natürlich liegen die l.u, Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ im Kern.
Daher ist $\vec{w}=\vec{w}_o+s\vec{u}+t\vec{v}$.
- Da man aus $n$ Spalten einen Faktor 2 herauszieht, ist $\det(2A)=2^n\det(A)$.
