Lernziel ist das Erweitern und Kürzen von Brüchen
Brüche bestehen aus Zähler und Nenner: $\quad\displaystyle \frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}$.
Brüche mit Zähler $1$ nennt man Stammbrüche: $\D \frac{1}{2}$, $\D \frac{1}{3}$, u.s.w..
Diese beiden Operationen ändern den Wert eines Bruchs nicht:
Ein Bruch wird erweitert, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert:
$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{a\cdot c}{b\cdot c}$
$\displaystyle \frac{3}{4}=\frac{3\cdot5}{4\cdot5}=\frac{15}{20}$
Ein Bruch wird gekürzt, wenn man Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividiert:
$\displaystyle \frac{a\cdot c}{b\cdot c}=\frac{a}{b}$,
$\displaystyle \frac{12}{9}=\frac{12:3}{9:3}=\frac{4}{3}$
Beispiel 1 Beispiel 2 selbst rechnen 1 selbst rechnen 2
Beispiel 3 Beispiel 4 selbst rechnen 3 selbst rechnen 4
Einen Bruch kann man in einem Schritt vollständig kürzen, wenn man durch den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von Zähler und Nenner kürzt.
Beispiel 1 Beispiel 2 Beispiel 3
Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier (natürlicher) Zahlen ist die kleinste Zahl, die beide als Teiler enthält.
Hat man die Primfaktorzerlegungen von $a$ und $b$, so ist das kgV das Produkt der jeweils höchsten Primfaktorpotenzen der beiden beteiligten Zahlen.
kgv$(60,18)=$kgv$(\fbox{$2^2$}\cdot3\cdot\fbox{$5$}, 2\cdot\fbox{$3^2$})=2^2\cdot3^2\cdot5=180$.
Beispiel 1 Beispiel 2 selbst rechnen
Zwei (oder mehr) Brüche werden gleichnamig gemacht, indem Sie so erweitert werden, dass die Nenner das kgV der einzelnen Nenner sind.
Diesen Nenner nennt man dann der Hauptnenner der Brüche.
$\displaystyle \frac{7}{60}$ und $\displaystyle \frac{5}{18}$: Wegen kgV$(60,18)=180$ wird der erste Bruch mit 3 und der zweite mit 10 erweitert:
$\displaystyle \frac{7}{60}=\frac{3\cdot7}{3\cdot60}=\frac{21}{180}$ und $\displaystyle \frac{5}{18}=\frac{10\cdot5}{10\cdot18}=\frac{50}{180}$.