Mit dem Satz von Vieta kann man schnell einfache quadratische Ausdrücke faktorisieren.
$$\text{Ist}\quad x^2+px+q=(x+x_1)(x+x_2),\quad\text{dann ist}$$
$$p=x_1+x_2\quad\text{und}\quad q=x_1\cdot x_2.$$
Dabei können $p$ und $q$ natürlich auch negativ sein.
Wichtig: Wenn $p$ und $q$ ganze Zahlen sind und man $x^2+px+q$ überhaupt als $(x+x_1)(x+x_2)$ schreiben kann, müssen $x_1$ und $x_2$ Teiler von $q$ sein.
Beispiel: $x^2-6x+5$.
Hier ist $q=5$ und $p=-6$.
$q=5$ hat die Teiler $\pm 1$ und $\pm 5$. Dann macht man so eine Tabelle:
$$\begin{array}{c|c|c}x_1&x_2&p=x_1+x_2\\5&1&6\\-1&-5&-6\end{array}$$
Dabei lässt man alle Kombinationen weg, die in anderer Reihenfolge schon aufgetreten sind, z.B. $x_1=1$ und $x_2=5$.
An der zweiten Zeile sieht man, dass $x_1+x_2=-1-5=-6=p$ erfüllt ist.
Lösung ist also $x^2-6x+5=(x-5)(x-1)$.
Beispiel 1 Beispiel 2selbst rechnen
Die quadratische Ergänzung ist eine Vorstufe der $p$-$q$-Formel und dient dazu, verschiedene Potenzen einer Variablen zusammenzufassen.
Die quadratische Ergänzung zu $x^2+px$ ist $\displaystyle x^2 +px+\big(\frac{p}{2})^2=\big(x+\frac{p}{2}\big)^2$
Beispiel: $x^2-6x+5$
Es ist $p=-6$, $\displaystyle \frac{p}{2}=-3 $ und daher $\displaystyle \left(\frac{p}{2}\right)^2=(-3)^2=9$
Damit wird $x^2-6x+5=x^2-6x+9-9+5=(x-3)^2-4$
Beispiel 1 Beispiel 2 Beispiel 3selbst rechnen
Die quadratische Gleichung $x^2+px+q=0$ wird durch die beiden Zahlen $\displaystyle x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\Big(-\frac{p}{2}\Big)^2-q}$ gelöst.
Ist der Ausdruck unter der Wurzel Null, so gibt es nur eine Lösung $\displaystyle x_1=x_2=\frac{p}{2}$.
Ist der Ausdruck unter der Wurzel negativ, hat die quadratische Gleichung keine reelle Lösung.
Beispiel 1: $x^2+4x+3=0$.
Hier ist $p=4$ (und damit $\displaystyle -\frac{p}{2}=-2$) und $q=3$.
Daher ist $x_{1,2}=-2\pm\sqrt{(-2)^2-3}=-2\pm \sqrt{1}=-2\pm 1$.
Also sind die Lösungen $x_1=-2-1=-3$ und $x_2=-2+1=-1$.
Beispiel 2: $x^2+4x+4=0$.
Wieder ist $p=4$ (und damit $\displaystyle -\frac{p}{2}=-2$). Jetzt ist $q=4$.
Daher ist $x_{1,2}=-2\pm\sqrt{(-2)^2-4}=-2\pm \sqrt{0}=-2$.
Hier gibt es nur die eine Lösung $x_1=x_2=-2$
Beispiel 3: $x^2+4x+5=0$.
Wieder ist $p=4$ (und damit $\displaystyle -\frac{p}{2}=-2$). Jetzt ist $q=5$.Daher ist $x_{1,2}=-2\pm\sqrt{(-2)^2-5}=-2\pm \sqrt{-1}$.
Weil der Ausdruck unter der Wurzel negativ ist, gibt es keine reelle Lösung.