Hier werden die Definitionen für Potenzen und Wurzeln besprochen
Da bei Wurzeln aus negativen Zahlen einige Rechenregeln nicht mehr gelten, beschränken wir uns bei Wurzeln und nicht-ganzzahligen Exponenten zunächst auf positive Grundzahlen.
Für eine reelle Zahl $a$ und eine natürliche Zahl $n$ ist $a^n:=\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{n\text{ mal}}$
$a$ ist die Basis oder Grundzahl, $n$ ist der Exponent.
$2^5=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32$
Die Basis ist $2$, der Exponent ist 5.
$(-1)^3=(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)=-1$
Die Basis ist $-1$, der Exponent ist 3.
Ist $a>0$, so ist $b=\sqrt[n]{a}$ diejenige positive Zahl mit $b^n=a$.
$b$ nennt man die $n$-te Wurzel aus $a$.
Die zweite Wurzel wird einfach als "Wurzel" bezeichnet, $\sqrt[2]{a}=:\sqrt{a}$.
$\sqrt{9}=3$, denn $3^2=9$
$\sqrt[5]{32}=2$, denn $2^5=32$.
$\sqrt[5]{-32}=-2$, denn $(-2)^5=-32$.
Wurzeln aus positiven Zahlen sind immer positiv und eindeutig bestimmt, so etwas wie $\sqrt{4}=\pm 2$ ist falsch!
Für Kehrwerte gilt $\displaystyle \frac{1}{a^n}=a^{-n}$.
Insbesondere ist $\displaystyle a^{-1}=\frac{1}{a}$.
$\displaystyle (-3)^{-1}=\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}$
$2^{-5}=\displaystyle \frac{1}{32}$.
Ist $n$ eine natürliche Zahl, so ist $a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$.
Ist $a>0$, so ist $\displaystyle a^{p/q}=\sqrt[q]{a^p}=\left(\sqrt[q]{a}\right)^p$
$2^{1/2}=\sqrt{2}$
$\displaystyle 16^{1/4}=\sqrt[4]{16}=2$
$\displaystyle 8^{2/3}=\left(\sqrt[3]{8}\right)^2=2^2=4$
$\displaystyle 8^{2/3}=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4$
Beispiel 1 Beispiel 2 Beispiel 3
Für eine positive reelle Zahl $a$ und eine reelle Zahl $p$ definiert man $a^p:=e^{p\ln a}$.
Das stimmt für $p\in \mathbb{Q}$ mit den Definitionen oben überein.
Für jede positive reelle Zahl $p> 0$ ist $0^p:=0$
Für jede reelle Zahl $p$ definiert man $p^0:=1$, also auch $0^0:=1$.
Für jede reelle Zahl $p$ ist $1^p=1$.
Ist $n$ eine ungerade ganze Zahl, so ist $\displaystyle a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$ auch für negative $a$ definiert, z.B. ist $(-8)^{1/3}=\sqrt[3]{-8}=-2$, weil $(-2)^3=-8$ ist.
Man muss aber aufpassen: zwar ist $(-8)^{1/3}=-2$, aber $(-8)^{2/6}$ ist nicht definiert. Denn $\Big((-8)^2\Big)^{1/6}=64^{1/6}=2$ kann zwar berechnet werden, stimmt aber aber nicht mit $(-8)^{1/3}=-2$ überein, und in $\Big((-8)^{1/6}\Big)^2$ kann die innere Klammer nicht ausgewertet werden.