Lernziel ist der Umgang mit den drei binomischen Formeln.
Die erste binomische Formel wertet das Quadrat einer Summe aus:
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
$\eq{(2u+3v)^2&=& (2u)^2+2\cdot 2u \cdot 3v +(3v)^2\\ &=&4u^2+12uv+9v^2}$
$\eq{101^2&=&(100+1)^2\\ &=&10\, 000+2\cdot 100\cdot 1+1\\ &=&10\,201}$
Die zweite binomische Formel erhält man, wenn man in der ersten $b$ durch $-b$ ersetzt:
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.
$\eq{(2y-z)^2&=&(2y)^2-2\cdot (2y)\cdot z +z^2\\ &=&4y^2-4yz+z^2}$
$\eq{99^2 &=&(100-1)^2\\ &=&100^2 -2\cdot 100\cdot 1+1^2\\ &=&10\,000-2\cdot 100\cdot 1+1\\ &=&9801}$
Die dritte binomische Formel berechnet das Produkt einer Summe mit der Differenz:
$(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2$
$\eq{(3x+2y)\cdot(3x-2y)&=& (3x)^2-(2y)^2\\&=&9x^2-4y^2}$
$\eq{39\cdot 41&=&(40-1)\cdot(40+1)\\ &=&40^2-1^2\\&=&1600-1\\&=&1599}$
Umgekehrt kann man die binomischen Formeln auch dazu verwenden, Terme zusammenzufassen.
$\eq{9+6u+u^2&=& 3^2+2\cdot 3\cdot u+u^2\\ &=&(3+u)^2}$
$\eq{n^4-2n^2+1&=&(n^2)^2-2\cdot n^2\cdot 1 +1^2\\ &=&(n^2-1)^2}$
$\eq{9x^2-4y^2&=& (3x)^2-(2y)^2\\ &=&(3x+2y)\cdot(3x-2y)}$
Weitere Beispiele:
$\eq{x^4-1&=&(x^2)^2-1^2\\ &=&(x^2+1)\cdot(x^2-1)\\ &=&(x^2+1)\cdot(x+1)\cdot (x-1)}$,
$\eq{a\cdot(a+b)+b^2+ab&=&a^2+ab+ab+b^2\\ &=&(a+b)^2}$.