Schritt 1: $\sin (-\alpha)=-\sin \alpha$.
Hat der Winkel ein negatives Vorzeichen, wird dieses weggelassen und statt dessen vor den Sinus ein Minuszeichen geschrieben.
Schritt 2: $\sin (k\pi+\alpha)=(-1)^k\sin \alpha$
Ist $k$ gerade, so ist $(-1)^k=1$, für ungerades $k$ ist $(-1)^k=-1$.
Der Winkel wird - falls nötig - in einen gemischten Bruch als Vielfaches von $\pi$ verwandelt. Ist der ganzzahlige Anteil gerade, wird er einfach weggelassen, bei einem ungeraden ganzzahligen Anteil wird dieser weggelassen, aber man bekommt ein Minus vor dem Sinus dazu.
Schritt 3: $\sin \alpha=\sin (\pi-\alpha)$
Liegt der verbleibende Winkel $\alpha$ im Bereich $(\displaystyle \frac{\pi}{2},\pi)$, wird statt dessen der Winkel $\pi-\alpha$ mit demselben Sinuswert genommen.
Beispiel 1: Bestimmt wird $\displaystyle\sin \left(-\frac{35}{6}\pi\right)$.
Schritt 1:
Da der Winkel negativ ist, wird ein Minuszeichen vor den Sinus gezogen:
$\displaystyle \sin \left(-\frac{35}{6}\pi\right)=-\sin \frac{35}{6}\pi$
Schritt 2: $\displaystyle\frac{35}{6}\pi=5 \frac{5}{6}\pi$.
Da $5$ ungerade ist, kommt ein weiteres Minuszeichen dazu:
$\displaystyle \sin \frac{35}{6}\pi=-\sin \frac{5}{6}\pi$ und damit $\displaystyle \sin \left(-\frac{35}{6}\pi\right)=-\sin \frac{35}{6}\pi=\sin \frac{5}{6}\pi$.
Schritt 3: Da $\displaystyle \frac{5}{6}\pi$ zwischen $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ und $\pi$ liegt, wird die Regel $\sin \alpha=\sin (\pi-\alpha)$ angewandt:
$\displaystyle\sin \frac{5}{6}\pi=\sin \frac{1}{6}\pi=\frac{1}{2}$ (aus der Tabelle).
Insgesamt hat man
$\displaystyle\sin \left(-\frac{35}{6}\pi\right)=\frac{1}{2}$
Beispiel 2: Bestimmt wird $\displaystyle\sin \frac{2}{3}\pi$
Schritt 1 und Schritt 2 sind unnötig, da der Winkel positiv ist und schon im Intervall $[0,\pi)$ liegt.
Schritt 3: Da $\displaystyle \frac{2}{3}\pi $ zwischen $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ und $\pi$ liegt, wird die Regel $\sin \alpha=\sin (\pi-\alpha)$ angewandt:
$\displaystyle \sin \frac{2}{3}\pi=\sin (\pi-\frac{2}{3}\pi)=\sin \frac{1}{3}\pi=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (aus der Tabelle)
Schritt 1: $\cos(-\alpha)=\cos \alpha$.
Wenn der Winkel negativ ist, wird das Vorzeichen einfach weggelassen.
Schritt 2: Wie beim Sinus: $\cos (k\pi+\alpha)=(-1)^k\cos \alpha$
Ist $k$ gerade, so ist $(-1)^k=1$, für ungerades $k$ ist $(-1)^k=-1$.
Der Winkel wird - falls nötig - in einen gemischten Bruch als Vielfaches von $\pi$ verwandelt. Ist der ganzzahlige Anteil gerade, wird er einfach weggelassen, bei einem ungeraden ganzzahligen Anteil wird dieser weggelassen, aber man bekommt ein Minus vor dem Cosinus dazu.
Schritt 3: $\cos \alpha=-\cos (\pi-\alpha)$
Liegt der verbleibende Winkel $\alpha$ im Bereich $(\displaystyle \frac{\pi}{2},\pi)$, wird statt dessen der Winkel $\pi-\alpha$ mit dem negativen Cosinuswert genommen.
Beispiel 1: Bestimmt wird $\displaystyle\cos \left(-\frac{11}{3}\pi\right)$.
Schritt 1: Der Winkel ist negativ ist und man lässt das Minuszeichen weg: $\displaystyle\cos \left(-\frac{11}{3}\pi\right)= \cos \frac{11}{3}\pi$
Schritt 2: Umwandlung in einen gemischten Bruch:
$\displaystyle \frac{11}{3}\pi= 3\frac{2}{3}\pi$.
Da $3$ ungerade ist, bekommt man ein Minuszeichen beim Weglassen:
$\displaystyle \cos \frac{11}{3}\pi=-\cos \frac{2}{3}\pi$
Schritt 3: Da $\displaystyle \frac{2}{3}\pi$ zwischen $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ und $\pi$ liegt, wird die Regel $\cos \alpha=-\cos (\pi-\alpha)$ angewandt:
$\displaystyle\cos \frac{2}{3}\pi=-\cos\frac{1}{3}\pi=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
Insgesamt hat man
$\displaystyle\cos \left(-\frac{11}{3}\pi\right)=-\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.