Zusammenfassung

Für die numerische Approximation von Elasto-Plastizitätsproblemen mit finiten Elementen werden lokale a posteriori Fehlerschätzer und darauf aufbauend adaptive Strategien zur dynamischen Gittersteuerung entwickelt. Betrachtet werden neben dem statischen Hencky-Modell vor allem das instationäre Modell nach Prandtl-Reuss im Grenzfall perfekter Plastizität aber auch unter Einbeziehung von Verfestigung. Die Diskretisierung basiert auf primal- und dual-gemischten Formulierungen für Spannungen und Verschiebungen in Kombination mit impliziten Zeitschrittverfahren. Im Falle perfekter Plastizität läßt sich der primal-gemischte Ansatz in jedem Lastschritt als eine nichtlineare Randwertaufgabe schreiben. Diese wird dann mit Hilfe einer adaptiven Newton-Iteration und CR-Verfahren mit Mehrgitterbeschleunigung gelöst. Das Ziel ist dabei eine möglichst gute Anpassung des Diskretisierungsgitters zum einen an die ,,zeitliche'' Entwicklung der elasto-plastischen Übergangsfronten und zum anderen an die Bedürfnisse der auszuwertenden Fehlergrösse. Vorgaben können etwa eine einzuhaltende Fehlertoleranz oder auch eine nicht zu überschreitende maximale Anzahl von Gitterpunkten (Speicherbeschränkung) sein. Dazu werden mit Hilfe von Dualitätsargumenten gewichtete, residuenbasierte Fehlerschätzer hergeleitet und auf deren Basis lokale Gitterverfeinerung bzw. Vergröberung durchgeführt. Die Implementierung erfolgt im Rahmen eines objektorientierten Finite-Elemente-Programmpakets DEAL in C++. Die so gewonnenen Techniken werden anhand problemtypischer Benchmarks erprobt und sollen später in Zusammenarbeit mit den ingenieurwissenschaftlichen Projektpartnern für realitätsnahe Konfigurationen angewendet werden. Der verfolgte Ansatz zur a posteriori Fehlerschätzung mit Hilfe von Dualitätsargumenten ist universell und nicht nur auf Probleme der Elasto-Plastizität beschränkt. Er bietet einen systematischen Zugang zur adaptiven Fehlerkontrolle für allgemeine Probleme der Mechanik in variationeller Formulierung.

Der Arbeits- und Ergebnisbericht ist streckenweise in englischer Sprache abgefaßt, da der Einfachheit halber wesentliche Teile der TEX-Dokumente der Arbeiten [31] und [32] verwendet wurden.