Diese Vorlesung bietet eine mathematische Einführung in die kollektive Risikotheorie. Ein Beispiel: Ein Versicherungsunternehmen möchte eine Haftpflichtversicherung anbieten, und steht also vor der Frage, wieviel Startkapital vorhanden und wie hoch die Versicherungsprämie mindestens angesetzt werden muss, so dass gesetzliche Auflagen erfüllt werden, insbesondere dass das Unternehmen nur mit sehr geringer Wahrscheinlichkeit zahlungsunfähig wird.
Diese Ruinwahrscheinlichkeit in Abhängigkeit der von den Versicherungsnehmern gezahlten Prämie und den von ihnen verlangten Auszahlungen nach einem Schadensfall zu bestimmen, wird das Ziel dieser Vorlesung sein. Kollektive Risikotheorie bedeutet hierbei, dass nur die Summe aller anfallenden Auszahlungen betrachtet wird; nicht, welcher Versicherungsnehmer diese verursacht hat.
Der Schwerpunkt liegt in der mathematischen Beschreibung der anfallenden Auszahlungen, des sog. Gesamtschadenprozesses S(t), das ist die Summe aller bis zum Zeitpunkt t aufgetretenen Schadensfälle. Eine grundlegende Annahme ist hierbei, dass die Anzahl N(t) der bis t aufgetretenen Schadensfälle unabhängig ist von den jeweiligen Schadenshöhen. Wir werden zuerst Modelle für den Schadenszählprozess N(t) kennenlernen, anschließend wenden wir uns Modellen für die Schadenshöhen zu, evtl. verbunden mit einem Exkurs über statistische Verfahren zur Identifizierung der zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Schließlich beweisen wir als Hauptresultat die Cramér-Lundberg-Approximation für die Ruinwahrscheinlichkeit.
Aus wahrscheinlichkeitstheoretischer Sicht werden wir uns mit Eigenschaften des Poisson-Prozesses, von Summen u.i.v. Zufallsgrößen und vor allem mit Erneuerungstheorie beschäftigen.
Die Vorlesung orientiert sich am Buch von Mikosch, zusätzliche Resultate zur Erneuerungstheorie richten sich nach Alsmeyer und Asmussen.
Die Übungsgruppen finden 14-tägig statt, beginnend am 22.10.2014, und dauern dann jeweils 2 Stunden, von 16-18 Uhr.