Behandelt werden die grundlegenden Konzepte von Diskretisierungsverfahren für partielle Differentialgleichungen mit stückweise polynomialen Funktionen (Finiten Elementen). Vorzugsweise am Beispiel elliptischer Differentialgleichungen in zwei und drei Raumdimensionen werden die folgenden Fragen untersucht: schwache Lösungstheorie, Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen, Grundlagen aus Funktionalanalysis und Approximationstheorie, Fragen der numerischen Umsetzung der Diskretisierungsverfahren (Konditionierung, numerische Integration), Konvergenzaussagen. Die Diskretisierungskonzepte werden auf nichtkonforme und gemischte Methoden erweitert.
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The fundamental concepts of discretization methods for partial differential equations with piecewise polynomial functions (finite elements) are discussed. Using elliptic differential equations in two and three spatial dimensions as examples, the following questions are examined: weak solution theory, existence and uniqueness of solutions, fundamentals of functional analysis and approximation theory, questions of numerical implementation of discretization methods (conditioning, numerical integration), convergence statements. The discretization concepts are extended to nonconforming and mixed methods.
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