HGII/HS1
Mo
14:00
2h
HGII/HS1 Do 10:00 2h
| 11.10.2010 | 0. Organisatorisches. 1.
Einleitung. 2. Die reellen
Zahlen. §2.1 Die Axiome der reellen Zahlen.
2.1 Die algebraischen Axiome. |
| 14.10.2010 | 2.3 Rechenregeln der Addition und
Multiplikation. 2.5 Regeln des Bruchrechnens (Beweis ÜA). 2.6 Die
Anordnungsaxiome. 2.8 Regeln für die Anordnungsrelation (1.Teil) |
| 18.10.2010 | 2.8 Regeln für die Anordnungsrelation (2.Teil).
2.9 Definition (nach oben, nach unten) beschränkt. 2.10 Definition
kleinste obere (größte untere) Schranke. 2.11 Das Vollständigkeitaxiom
(Supremumsaxiom). 2.14 Satz Charakterisierung des Supremums. 2.15 Satz
Charakterisierung des Infimums. §2.2 Die Mengen der
natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen. 2.18 Definition
induktive Teilmenge. 2.19 Definition der natürlichen Zahlen. |
| 21.10.2010 | 2.21 Induktionsprinzip. 2.25 Eigenschaften der
natürlichen Zahlen. 2.27 Rechenregeln für endliche Summen, endliche
Produkte und Potenzen. |
| 25.10.2010 | 2.28 Die rationalen Zahlen. 2.29 Satz von
Archimedes. 2.31 Dichtheitseigenschaft der rationalen Zahlen. §2.3 Wurzeln. 2.36 √2 ist irrational (Beweis
begonnen). |
| 28.10.2010 | 2.36 √2 ist irrational (Forsetzung). 2.37
Existenz von √c. 2.38 n-te Wurzeln. 2.39 Rechenregeln für Potenzen mit
rationalen Exponenten. §2.4 Ein wenig Kombinatorik.
2.40 Definition Binomialkoeffizienten. 2.41 Satz über die Anzahl von
Teilmengen und Anordnungen endlicher Mengen. (Beweis begonnen) |
| 04.11.2010 | 2.41 Satz über die Anzahl von Teilmengen und
Anordnungen endlicher Mengen (Fortsetzung). 2.43 Binomische Formeln.
2.44 Pascalsches Dreieck. 3. Folgen und Reihen.
§3.1 Der Absolutbetrag. 3.1 Definition
Absolutbetrag. 3.2 Eigenschaften. 3.4 Definition Abstand. 3.5
Eigenschaften. §3.2 Folgen und Konvergenz von
Folgen. 3.7 Definition Zahlenfolge. 3.9 Definition Konvergenz
einer Folge. |
| 08.11.2010 | 3.11 Divergente Folgen. 3.13 Beschränkte Folgen.
3.14 Satz: Konvergente Folgen sind beschränkt. 3.16 Satz: Konvergente
Folgen haben einen eindeutigen Grenzwert. 3.17 Satz: Summe und Produkt
konvergenter Folgen (begonnen). |
| 11.11.2010 | 3.17 Satz: Summe und Produkt konvergenter Folgen
(Fortsetzung). 3.18 Korollar: Linearkombinationen konvergenter
Zahlenfolgen. 3.19 Satz: Quotient konvergenter Folgen. 3.20 Satz:
Größenvergleich konvergenter Folgen. 3.22 Definition: Bestimmt
konvergent. 3.24 Satz: Kehrwert bestimmte divergenter Folgen. Kehrwert
von Nullfolgen. (Beweis Übungsaufgabe). |
| 15.11.2010 | §3.3 Intervallschachtelungen.
3.25 Definition: Intervalle. 3.26 Definition: Intervallschachtelung.
3.27 Satz: Intervallschachtelungen erfassen genau einen Punkt. 3.30
Darstellung reeller Zahlen bezüglich einer Basis. 3.33 Dichtheit der
rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ in den reellen Zahlen $\mathbb{R}$. §3.4 Teilfolgen und Häufungspunkte. 3.34
Definition: Teilfolge. 3.35 Definition Häufungspunkt. 3.36 Proposition:
Charakterisierung von Häufungspunkten. 3.37 Satz (Bolzano-Weierstraß).
Jede beschränkte Folge besitzt (mindestens) einen Häufungspunkt. §3.5 Konvergenzsätze für Folgen. 3.38 Definition:
(Streng) Monoton wachsende, (streng) monoton fallende Folgen. |
| 18.11.2010 | 3.39 Satz: Monotone Konvergenz. 3.40 Definition:
Cauchy-Folge. 3.41 Satz: Cauchy-Folgen sind beschränkt. 3.42 Satz:
Cauchy Konvergenzkriterium. 3.44 Beschränkte Folgen sind genau dann
konvergent, wenn sie einen eindeutigen Häufungspunkt haben. §3.6 Reihen. 3.45 Definition: Reihe. 3.46
Definition: Konvergente Reihe. 3.47 Beispiel: Geometrische und
harmonische Reihe. 3.48 Linearkombination konvergenter Reihen. 3.49
Konvergenz einer majorisierten Reihe mit nichtnegativen Summanden. |
| 22.11.2010 | 3.50 Satz: Cauchy Konvergenzkriterium für Reihen.
3.52 Satz: Leibnitz Konvergenzkriterium für alternierende Reihen. 3.54
Definition: Absolut konvergente Reihen. 3.56 Satz: Majorantenkriterium
für die absolute Konvergenz einer Reihe. 3.57 Satz: Quotientenkriterium
für die absolute Konvergenz einer Reihe. 3.59 Satz: Wurzelkriterium für
die absolute Konvergrenz einer Reihe. §3.7
Umordnung und Summe von Reihen. 3.61 Satz: Umordnungen einer
absolut konvergenten Reihe sind absolut konvergent. (Beweis begonnen) |
| 25.11.2010 | Folien zu Beginn der
Vorlesung. 3.61 Satz: Umordnungen einer absolut konvergenten Reihe
sind absolut konvergent. (Fortsetzung Beweis). 3.63 Satz:
Doppelreihensatz. 3.65 Satz: Produkt absolut konvergenter Reihen. §3.8 Die Exponentialreihe. 3.66 Satz: Die
Exponentialreihe zu $x$ ist für alle $x\in\mathbb{R}$ absolut
konvergent. |
| 29.11.2010 | 3.67 Definition: Die Eulersche Zahl $e$. 3.68
Satz: Additionstheorem der Exponentialfunktion. 3.70 Satz:
$exp(qx)=exp(x)^q$ für rationale $q$. §3.9
Dezimaldarstellung reeller Zahlen. 3.71 Dezimaldarstellung durch
unendliche Reihe; periodische Dezimalzahlen. 3.72 Proposition:
Charakterisierung der Uneindeutigkeit der Dezimaldarstellung einer
rellen Zahl als unendliche Reihe. 4. Funktionen und
Stetigkeit. §4.1 Abbildungen. 4.1
Definition: Abbildung, Definitionsbereich, Wertebereich. 4.2
Definition: Injektive, surjektive, bijektive Abbildung; Umkehrabbildung
einer bijektiven Abbildung. 4.3 Definition: Komposition von
Abbildungen. §4.2 Abzählbarkeit. 4.2
Definition: Gleichmächtigkeit von Mengen; endliche, abzählbar
(unendliche), höchstens abzählbare, überabzählbare Mengen. 4.5 Satz:
Teilmengen höchstens abzählbarer Mengen sind höchstens abzählbar. Die
Vereinigung höchstens abzählbar vieler höchstens abzählbarer Mengen ist
höchsten abzählbar. |
| 02.12.2010 | 4.6 Korollar: $\mathbb{Z}$ und $\mathbb{Q}$ sind
abzählbar. 4.7 Satz: Die Menge der Folgen in $\{0,1\}$ ist
überabzählbar. 4.8 Satz: $\mathbb{R}$ ist überabzählbar. §4.3 Reellwertige Funktionen. 4.9 Definition:
Reellwertige Funktion; Graph einer Funktion. 4.12 Definition:
Verknüpfungen von Funktionen: Summe, Vielfaches, Produkt, Quotient. §4.4 Grenzwerte von Funktionen. 4.13 Definition:
Häufungspunkt einer Menge $D\subset\mathbb{R}$. 4.14 Definition:
Konvergenz einer Funktion an einem Punkt. 4.15 Satz: Äquivalente
Charakterisierung mit `$\varepsilon-\delta$ Kriterium'. |
| 06.12.2010 | 4.17 Definition: Rechts- und linksseitiger
Grenzwert. §4.5 Stetigkeit. 4.19
Definition: Stetigkeit. 4.20 Charakterisierung der Stetigkeit mit
$\varepsilon-\delta$ Kriterium. 4.23 Satz: Summe, skalares Vielfaches
und Produkt stetiger Funktionen gibt wieder eine stetige Funktion. Der
Quotient stetiger Funktionen ist stetig auf seinem Definitionsbereich.
4.24 Definition: Polynome und rationale Funktionen. 4.25 Korollar:
Rationale Funktionen sind stetig. 4.26 Stetigkeit ist lokale
Eigenschaft. |
| 09.12.2010 | 4.27 Satz: Komposition stetiger Funktionen ist
stetig. §4.6 Eigenschaften stetiger Funktionen.
4.28 Zwischenwertsatz (Nullstellensatz). 4.29 Korollar:
Zwischenwertsatz (allgemeine Version). 4.30 Beispiel: Polynome
ungeraden Grades besitzen mindestens eine Nullstelle. 4.31 Definition:
Uneigentliche Intervalle. 4.32 Proposition: Stetige Abbildungen bilden
Intervalle (evtl. uneigentlich) auf Intervalle (evtl. uneigentlich) ab.
4.33 Definition: Beschränkte Funktionen. 4.34 Satz: Eine stetige
Funktion auf einem abgeschlossenem Intervall nimmt ihr Maximum und ihr
Minimum an. 4.35 Definition: Gleichmäßig stetige Funktionen. |
| 13.12.2010 | 4.36 Satz: Stetige Funktionen auf einem
abgeschlossenem Intervall sind gleichmäßig stetig. 4.38 Definition:
(Streng) monoton wachsende, (streng) monoton fallende Funktionen. 4.39
Satz: Eine stetige, streng monoton wachsende Funktion auf einem reellen
Intervall ist bijektiv auf ihr Bild. Die Umkehrfunktion ist stetig und
streng monoton wachsend. §4.7 Logarithmus und
allgemeine Potenzen. 4.40 Satz+Definition:
$log:=\exp^{-1}:(0,\infty)\to\mathbb{R}$ ist stetig, streng monoton
wachsend und erfüllt für alle $x,y\in\mathbb{R}$ die
Funktionalgleichung $\log(xy)=\log(x) + \log(y).$ 4.41 Definition:
Exponentialfunktion zur Basis $a>0$. 4.42 Satz: Eigenschaft der
Exponentialfunktion zu einer allgemeinen Basis. |
| 16.12.2010 | 4.43 Definition: Allgemeine Potenz $a^x$ für
$a>0, x\in\mathbb{R}$. 4.44 Proposition: Rechenregeln für allgemeine
Potenzen. 5. Trigonometrische Funktionen. §5.1 Die komplexen Zahlen. 5.1 Definition: Der
Körper der komplexen Zahlen $\mathbb{C}$. 5.2 Bemerkung:
Identifizierung von $\mathbb{R}$ als Teilmenge von $\mathbb{C}$;
imaginäre Einheit $i\in\mathbb{C}$; Realteil und Imaginärteil von
$z\in\mathbb{C}$. 5.3 Satz: $i^2=-1$. 5.4 Satz: $\mathbb{C}$ ist
Körper. 5.6 Definition: Komplex Konjugierte und Betrag von
$z\in\mathbb{C}$. 5.7 Lemma: Eigenschaft der komplexen Konjugation. 5.8
Lemma: Eigenschaft des Betrags, insbesondere Dreiecksungleichung. §5.2 Folgen und Reihen in $\mathbb{C}$. 5.10
Definition: Konvergen einer Folge komplexer Zahlen. 5.11 Satz:
Charakterisierung der Konvergenz in $\mathbb{C}$: Äquivalenz mit
Konvergenz der beiden Folge der Realteile und Imaginärteile. 5.12
Korollar: Konvergenz einer Folge und der Folge der komplex Konjugierten
Folgeglieder. |
| 03.01.2011 | Folien zur Vorlesung.
5.13-5.26 §5.3 Sinus und Kosinus. 5.27-5.34. |
| 06.01.2011 | Folien zur Vorlesung.
5.35.-5.40 §5.4 Weitere trigonometrische Funktionen
5.41-5.42. §5.5 Polarkoordinaten 5.43. 6. Differentiation §6.1
Ableitung und Ableitungsregeln 6.1 Definition: Ableitung. 6.2
Bem.: Geometrische Interpretation. 6.3 Beispiele. |
| 10.01.2011 | 6.3 Beispiele: Sinus, Kosinus und
Betragsfunktion. 6.4 Satz: Äquivalenz von Differenzierbarkeit und
linearer Approximierbarkeit. 6.5 Satz: Differenzierbarkeit impliziert
Stetigkeit. 6.6 Satz: Reelle Vielfache, Summe, Produkt und Quotient
differenzierbarer Funktionen sind differenzierbare Funktionen auf ihrem
Definitionsbereich; Produkt- und Quotientenregel. 6.7 Beispiel: (i)
$f_n(x)=x^n$ ist differenzierbar mit Ableitung $f_n'(x)=nx^{n-1}$. |
| 13.01.2011 | 6.7 Beispiel: (ii) $f_n(x)=x^{-n}$ ist
differenzierbar auf $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ mit Ableitung
$f_n'(x)=-nx^{-n-1}$. 6.8 Satz: Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion.
6.9 Beispiel: Logarithmus und Arkussinus. 6.10 Satz:
Differenzierbarkeit der Komposition zweier Funktionen, Kettenregel.
6.12 Definition: Höhere Ableitungen. §6.2 Lokale
Extrema und Mittelwertsatz. 6.13 Definition: (Striktes ) Lokales
Maximum (Minimum, Extremum). |
| 17.01.2011 | 6.14 Satz: Die Ableitung einer differenzierbaren
Funktion verschwindet an einer lokalen Extremalstelle. 6.16 Definition:
Stationärer Punkt, Sattelpunkt. 6.17 Satz von Rolle. 6.18
Mittelwertsatz. 6.20 Korollar: Zusammenhang zwischen der Monotonie
einer Funktion und dem Vorzeichen ihrer Ableitung. 6.21 Satz:
Notwendige Kriterien für das Vorliegen eines lokalen Minimums. |
| 20.01.2011 | 6.22 Satz: Regel von de l'Hospital. §6.3 Konvexität. 6.24 Definition: konvexe
Funktion. 6.25 Bemerkung: Geometrische Interpretation. 6.26 Satz:
Konvexität und Vorzeichen der zweiten Ableitung. 6.27 Satz: Konvexe
Funktionen und Auswertung des Funktionswertes von Konvexkombinationen.
6.28 Korollar: Abschätzung zwischen dem geometrischen und
arithmetischen Mittel. |
| 24.01.2011 | Folien zur Vorlesung..
7. Das Riemann Integral. §7.1 Riemann integrierbare Funktionen. 7.1 - 7.11. |
| 27.01.2011 | Folien zur Vorlesung..
7.12-7.16 |
| 31.01.2011 | 7.17 Definition: Positiver und Negativer Anteil
einer reellen Funktion. 7.18 Proposition: Integrierbarkeit von $|f|$
und Abschätzung. §7.3 Differentiation und
Integration. 7.19 Satz: Gebietsadditivität des Intergrals. 7.20
Satz: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. 7.21 Satz:
Charakterisierung von Stammfunktion. 7.22 Satz: Integral und
Stammfunktion. 7.24 Beispiele: Berechnung von Integralen mit Hilfe der
Stammfunktion. |
| 03.02.2011 | 7.25 Definition: Stetig differenzierbar. 7.26
Satz: Substitutionsregel (Variablentransformation). 7.27 Beispiele.
7.28 Satz: Partielle Integration. 7.29 Beispiele. §7.4
Uneigentliche Integrale. 7.30 Definition: Uneigentliche Integrale. 7.31
Beispiele. 7.32 Satz: Konvergenz unendlicher Reihen und Existenz
uneigentlicher Integrale. |