Brownsche Bewegung, Sommersemester 2024

Dozent

Prof. Dr. Ivan Veselic

Vorlesungstermine

Di 10–12, Raum M/E19
Mi 12–14, Raum M/E19

Übung

Die Terminfindung zur Übung findet in der ersten Vorlesung statt.
Die Übungsleitung übernimmt Alexey Schwarzmann.

Übungstermin

Mi 14–16, Raum M/511

Organisatorisches, Studienleistung und Modulprüfung

Bitte melden Sie sich hier im LSF an, dann erfolgt die Freischaltung im Moodle automatisch nach einer gewissen Wartezeit.
Der eigentliche Betrieb läuft dann über Moodle.
Die Veranstaltung umfasst 4 Wochenstunden Vorlesung und 2 Wochenstunden Übung (4 V + 2 Ü). Beide Veranstaltungen zusammen bilden das Modul MAT-623 mit 9 Leistungspunkten.
Der Erwerb der Studienleistung erfolgt durch die erfolgreiche Bearbeitung wöchentlicher Hausaufgaben (mindestens 50% der Gesamtpunkte aller Übungsblätter) sowie zweimal Vorrechnen in der Übung.
Die Modulprüfung erfolgt in Form einer mündlichen Prüfung. Die Einzelheiten hierzu werden später bekannt gegeben.

Inhalte

Die Vorlesung Brownsche Bewegung behandelt den stochastischen Prozess der Brownschen Bewegung. Verschiedene Definitionen der Brownsche Bewegung werden vorgestellt, der Prozess konstruiert, Messbarkeitseigenschaften diskutiert, und schliesslich der funktionale zentrale Grenzwertsatz bewiesen. Es werden verschiedene Regularitäts-, Symmetrie-, Stabilitäts- und andere Eigenschaften definiert, die ein stochastischer Prozess haben kann und die die Brownsche Bewegung in der Tat hat.

Für die Vorlesung wird lediglich die Kenntnis der Stochastik I vorausgesetzt. Kenntnisse aus der Stochastik II sind hilfreich.

Stichpunktartige Auflistung der Themen:

bedingte Erwartungen
endlichdimensionale Verteilungen
Konstruktion von Maßen und Prozessen
Existenzsatz von Komogorov
Beispielklassen von stochastischen Prozessen
Gauss- und Levy-Prozess
Charakterisierungen von Gauss-Prozessen
Markov-Kerne und Übergangsfamilien
(Operator)Halbgruppen, Generatoren
Feller-Halbgruppen, Satz von Hille-Yoshida
Faltungshalbgruppen und Levy-Prozesse
reguläre Version der bedingten Erwartung
Markov-Prozesse
Konstruktion der Brownschen Bewegung
Pfadeigenschaften der Brownschen Bewegung
alternative Konstruktion der Brownschen Bewegung
Gesetze des iterierten Logarithmus
exponentielle Ungleichungen für Suprema
funktionaler zentraler Grenzwertsatz
Invarianzprinzip von Donsker

Literatur

Wahrscheinlichkeitstheorie, Heinz Bauer (De Gruyter)

Kontakt

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