Willkommen auf der Webseite zum Studienvorkurs der Mathematik, den Prof. Dr. Ivan Veselic im September 2024 gehalten hat. Er richtet sich an neue Studierende der Studiengänge Mathematik, Technomathematik, Wirtschaftsmathematik, Statistik und Lehramt Gymnasium und Berufskolleg an der TU Dortmund. Hier finden Sie weitere Infos rund um den Vorkurs und das Studieren an der Technischen Universität Dortmund, insbesondere zu folgenden Punkten:
Informationen zur Uni, zur Fakultät, zum Studienangebot und zum Dozenten, der die Videos erstellt hat:
In dem Moodle-Raum des Vorkurses finden Sie weitere Ressourcen und Materialien zum Vorkurs Mathematik, insbesondere
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In diesem Video wird einführendes zum Vorkurs erklärt.
In diesem Video beginnen wir mit einigen mathematischen Basics.
In diesem Video beschäftigen wir uns weiter mit einigen mathematischen Basics.
In dieser Vorlesung schließen wir die ersten Basics ab und betrachten eine Aufgabenstellung, die uns später zum Thema des ersten Kapitels führen wird: Das Prinzip der kleinsten Quadrate.
In dieser Vorlesung beschäftigen wir uns nach einem Tipp zum Selbstmanagement mit der Frage, wie man eine Gerade durch mehrere vorgegebene Punkte findet.
In dieser Vorlesung befassen wir uns konkreter mit dem Prinzip der kleinsten Quadrate: Wir wollen eine „gute“ Ausgleichsgerade für viele Datenpunkte finden. Dazu definieren wir einen „quadratischen Fehler“ der Gerade und den Datenpunkten. Die Ausgleichsgerade ist gut, falls dieser Fehler klein ist. Unser Ziel ist daher, eine Gerade zu finden, die diesen Fehler minimiert.
In dieser Vorlesung präsentieren wir die Aufgabe, die Bahn der Voyager-Sonde vorherzusagen, welche uns eine Zeit lang begleiten wird. Wegen der Komplexität dieser Aufgabe werden wir einfachere, ähnliche Probleme betrachten und lösen, bevor wir schließlich wieder auf das Sondenproblem zurückkommen.
In dieser Vorlesung betrachten wir eine weitere Vereinfachung des Sondenproblems. Dann wird die Aufgabenstellung tatsächlich so weit reduziert, dass wir sie mit Schulwissen lösen können.
In dieser Vorlesung definieren wir verschiedene Typen von Minima von Funktionen ebenso wie den Begriff der Konvexität. Dessen Bedeutung für die Bestimmung von Minima wird diskutiert.
In dieser Vorlesung suchen wir nach der besten konstanten Funktion durch eine Punktwolke in der x-y-Ebene. Die bei dieser Aufgabe resultierenden Werte können (auf besonders natürliche Weise) stochastisch interpretiert werden.
In dieser Vorlesung diskutieren wir die Relevanz der Differenzierbarkeit und Konvexität von Funktionen bei der Suche von Minima. Daraufhin versuchen wir die Methode, die uns bei Funktionen einer Variable zum Ziel geführt hat, auch auf Funktionen zweier Variablen anzuwenden, und schauen, wie erfolgreich dieser Ansatz ist. Bei der Berechnung der Sonden-Bahn haben wir ja zwei freie Parameter zu optimieren.
In dieser Vorlesung werden wir die notwendigen Bedingungen an die Ableitungen für ein Minimum einer Funktion zweier Variablen als ein herkömmliches 2 x 2 Gleichungssystem umschreiben. Die Lösung werden wir dann im Kontext der Stochastik interpretieren. Daraufhin diskutieren wir, ob die Varianz positiv, negativ oder Null ist. Dies ist insbesondere wichtig, falls wir mit diesem Wert multiplizieren oder dividieren.
In dieser Vorlesung betrachten wir weiter die Varianz eines Datensatzes aus N Zahlen und zeigen, dass sie mit dem minimal möglichen Wert des quadratischen Fehlers des Datensatzes übereinstimmt. Daraufhin identifizieren wir die bereits aufgetretenen Terme als Skalarprodukt bzw. als Kovarianz und diskutieren diese beiden Begriffe.
In dieser Vorlesung erhalten wir Formeln für die Werte der Steigung a und der Konstanten c, für die der quadratische Fehler minimal wird. Danach diskutieren wir an einem Beispiel, wie Fallunterscheidungen bei mathematischen Herleitungen verwendet werden. Im konkreten Fall wird danach unterschieden, ob der Mittelwert der Zeitpunkte ungleich Null ist. Daraufhin suchen wir nach einer hinreichenden Bedingung für ein Minimum für eine Funktion zweier Variablen. Dabei lernen wir in unserem speziellen Kontext die Determinante und das Hurwitz/Sylvester-Kriterium kennen.
In dieser Vorlesung präsentieren wir einen alternativen und unabhängigen Beweis, dass in den bereits identifizierten Werten von a und c ein Minimum der Fehlerfunktion vorliegt. Der Vorteil dieses Beweises ist, dass er ohne Ableitungen auskommt und nur eine Art quadratischer Ergänzung benutzt. Allerdings verifizieren wir (nur), dass der Kandidat für das Minimum tatsächlich eines liefert, während die Methode mit den Ableitungen (a-priori unbekannte) Minimalstellen identifizieren kann.
In dieser Vorlesung zeigen wir mit elementaren Termumformungen, dass das Minimum der Fehlerfunktion eindeutig ist. Dabei liefern wir ein Beispiel für einen Widerspruchsbeweis. Damit ist die Diskussion der Aufgabe 5 (Sondenproblem) abgeschlossen. Die Strukturen, die uns bisher begegnet sind, legen nahe, nun die Struktur des Vektorraumes R^n zu untersuchen. Dies ist das Thema des zweiten Kapitels.
In dieser Vorlesung diskutieren wir weiter die Struktur des Vektorraums und führen insbesondere die Begriffe „Abstand“ und „Länge“ ein. Danach greifen wir wieder Aufgabe 4 auf, also der Vorhersage der Bewegung der Sonde anhand von einer Messreihe von Daten im dreidimensionalen physischen Raum. Am Ende der Vorlesung formulieren wir eine notwendige Bedingung für ein Minimum der zugehörigen Fehlerfunktion.
Im ersten Teil der Vorlesung formen wir die Gleichungen, die sich auf dem notwendigen Kriterium für ein Minimum ergeben, um. Nach der Umformung entkoppeln die sechs Gleichungen in drei 2x2 Gleichungssysteme. Diese sind mit Schulwissen lösbar und führen auf Formeln, die wir schon in anderen Aufgaben gesehen haben. Im zweiten Teil der Vorlesung führen wir das abstrakte Konzept des Abstands ein. (In der Formel etwa zur Minute 21 ist ein Vorzeichenfehler, der in den Vorlesungsnotizen korrigiert ist.)
In dieser Vorlesung betrachten wir ein Beispiel für einen weiteren Längen- und Abstandbegriff: Die ℓ_1 oder auch Manhattan-Metrik. Wir vergleichen diese in den nächsten Vorlesungen mit der bisher meistens verwendeten Euklidischen Metrik. Die Manhattan-Metrik führt auf den Begriff des Medians.
In dieser Vorlesung sehen wir, dass Mittelwert und Median nicht übereinstimmen müssen und dass der Median nicht eindeutig sein muss. Dabei kommen wir auf einige Themen wieder zurück: Bei dem Prinzip der kleinsten Quadrate haben wir den Euklidischen Abstand in die Fehlerfunktion eingebaut. Bei der Berechnung einer konstanten Ausgleichsgeraden stellte sich dabei das arithmetische Mittel der Datenwerte als bester Wert heraus. Benutzt man stattdessen die ℓ_1-Metrik, ergibt sich als bester Wert der Median.
In dieser Vorlesung schließen wir das Datensatz-Beispiel aus der letzten Vorlesung ab und illustrieren damit nochmal, dass der Median nicht eindeutig sein muss. Danach wenden wir uns wieder dem Abstandbegriff zu und überlegen uns, was den Euklidischen Abstand so besonders macht: Es ist die Beziehung zum Skalarprodukt. Das motiviert eine grundsätzliche Diskussion der Eigenschaften des Skalarprodukts und seiner Beziehung zur (Euklidischen) Norm.
In dieser Vorlesung untersuchen wir die Beziehung zwischen dem motivierenden Optimierungsproblem und dem zuletzt diskutierten Abstandsbegriff. Es stellt sich heraus, dass im Falle des Euklidischen Abstands die kürzeste Verbindung auf zwei ganz unterschiedliche Weisen charakterisiert werden kann (Kriterium von Kolmogorov). Um eine allgemeinere Variante dieses Kriteriums formulieren zu können, führen wir den Begriff der konvexen Menge und den der abgeschlossenen Menge ein.
In dieser Vorlesung schauen wir noch mal unser Beispiel für eine (stetige und differenzierbare) Funktion ohne Maximum an. Um dieses Phänomen besser fassen zu können, führen wir einige passende Begriffe ein: Obere Schranke, Supremum, Maximum, Bildbereich einer Funktion. Nach der Bereitstellung der Eigenschaften „konvex“ und „abgeschlossen“ können wir nun das allgemeinere, zweite Kriterium von Kolmogorov formulieren. Zum Schluss beweisen wir das Kriterium. Da es sich um eine Äquivalenzaussage handelt, sind zwei einzelne Implikationen zu beweisen. Dieser Beweis wird rigoros geführt, so wie dies später auch in den Vorlesungen im Studium praktiziert wird.
In dieser Vorlesung liefern wir noch den Beweis einer Behauptung nach und schließen damit den Beweis des allgemeineren Kriteriums von Kolmogorov ab. Dies ist auch der Abschluss des Themenkomplexes Optimierungsaufgaben und Vektorräume. Nun wollen wir uns in Kapitel 5 mit dem Thema „Zahlen“ beschäftigen. Davon gibt es einfachere und kompliziertere. Wir betrachten zuerst die „natürlichen Zahlen“, weil die sicherlich am einfachsten zu verstehen sind.
Vor diesem Vortrag haben mehrere Dozenten der Fakultät in Mini-Vorträgen einen kleinen Einblick in die mathematischen Themen gegeben, mit denen sie sich beschäftigen. Am Anfang des Videos gibt es dazu eine Reflektion mit ein paar Fragen. Dann beweisen wir mit Hilfe der vollständigen Induktion die Dreiecksungleichung für die Summe von beliebig vielen Zahlen. Anschließend formulieren und beweisen wir die „Summenformel“. Dann wenden wir uns irrationalen Zahlen zu und formulieren einen Satz, der besagt, dass „Wurzeln“ wohldefinierte Zahlen sind. Der Beweis des Satzes wird in dieser Vorlesung begonnen und zunächst die Eindeutigkeit der Wurzel gezeigt.
In dieser Vorlesung setzen wir den Beweis der Existenz und Eindeutigkeit von Wurzeln fort und identifizieren mit einer „Formel“ einen Kandidaten für die Wurzel.
In dieser Vorlesung setzen wir den Beweis der Existenz von Wurzeln fort. Einen Kandidaten für die Wurzel haben wir in der letzten Vorlesung identifiziert. Nun weisen wir mit einem Widerspruchsbeweis nach, dass der Kandidat tatsächlich die definierende Gleichung der Wurzel erfüllt. Um Wurzel konkreter beschreiben zu können, führen wir nun den Begriff der Folge ein. Eigentlich ist das nur ein Spezialfall des Begriffs der Funktion. Deshalb übertragen sich viele Dinge, Eigenschaften wie die Monotonie oder Operationen wie die Summe von zwei Folgen. Am Ende formulieren wir eine Aussage über die Konvergenz von monotonen Folgen. Dabei verfügen wir nur über einen intuitiven Begriff des Grenzwerts.
In dieser Vorlesung liefern wir zunächst ein intuitives Argument, dass eine monoton fallende und von unten beschränkte Folge von Zahlen konvergiert und zwar gegen das Infimum der Folge. Dann formulieren wir einige Rechenregeln für Folgen und Grenzwerte, die zumindest intuitiv sind, auch wenn wir sie nicht beweisen. Danach präsentieren wir das Babylonisch bzw. Heron-Verfahren zur näherungsweisen Berechnung der Wurzel.
In dieser Vorlesung präzisieren wir den Qualitätsgewinn in jedem weiteren Schritt des Babylonischen bzw. Heron-Verfahrens und formulieren seine Verallgemeinerung für das Ziehen der k-ten Wurzel. Dann wenden wir uns der Definition der Eulerschen Zahl zu. Dazu betrachten wir das Phänomen des exponentiellen Wachstums. Konkreter definieren wir zwei Folgen von Zahlen, eine davon isoton, die andere antiton und beide beschränkt. Daher wissen wir schon, dass beide einen Grenzwert besitzen. Wegen der engen Beziehung zwischen den beiden Folgen ist der Grenzwert dieselbe Zahl. Diese definieren wir als die Eulersche Zahl.
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