Recently frames or redundant expansions of signals attracted a considerable interest of researchers working in signal processing. As the requirement of one-to-one correspondence between the signal and its transform coefficients is dropped, there is more freedom in the design and implementation of the frame transforms. The frame expansions of signals demonstrate resilience to the quantization noise and to the coefficients losses. Thus, frames may serve as a tool for error correction by the transmission of signals through lossy channels. Additional adaptation abilities of the overcomplete representation of signals has a potential to succeed in denoising and compression of signals.

Die Populationsbilanzgleichung beschreibt eine Partikel-Dichtefunktion f(t,r,x) in Raum (r) und Zeit (t) mit der zusätzlichen Eigenschaftskoordinate x. Die Differentialgleichung enthält als Quellterm einen Integraloperator, der f quadratisch enthält und die Koaleszenz der Partikel beschreibt. Da die Koordinate x die Dimension erhöht, sind für die numerische Berechnung effiziente Verfahren zwingend. Im Vortrag wird erläutert wie man die naive Integralaus-wertung (Komplexität n^2, wenn n die Zahl der Freiheitsgrade in x) auf die Komplexität O(n log n) verbessern kann.

Im Vortrag wird zunächst die wechselseitige Information für Vektorkanäle mit Gaußschem Rauschen hergeleitet. Diese sind insbesondere ein Modell für Systeme, die mehrere Sende- und Empfangsantennen haben (MIMO, multiple input multiple output). Die Maximierung der wechselseitigen Informationen über alle Eingabeverteilungen führt zum Begriff der Kapazität des Kanals. In der Praxis unterliegt die Eingabe Leistungsbeschränkungen, welche im Modell als Nebenbedingungen auftreten. Mit Hilfe von Richtungsableitungen wird die Kapazität unter Nebenbedingungen bestimmt, die sich mit allgemeinen p-Normen beschreiben lassen. Die klassische Lösung des ``water-filling`` ergibt sich hierbei als unstetiger Grenzfall. Schließlich wird bei unbekanntem Kanal die Übertragung als Zwei-Personen-Nullsummenspiel formuliert, die Natur spielt gegen den Sender von Informationen. Dieses hat ein Nash-Gleichgewicht, dessen Spielwert aus den vorhergehenden Überlegungen bestimmt werden kann.

Kontaktprobleme in der Elastizitätstheorie führen auf stark nichtlineare freie Randwertprobleme. Im Rahmen der linearen Theorie wird man durch Konvexitätsargumente auf die Untersuchung von Variationsungleichungen geführt. Diese Methoden sind auf allgemeine nichtlineare Probleme nicht übertragbar. Im Vortrag wird gezeigt, wie man mit neuen Ansätzen und unter Verwendung moderner Methoden der nichtglatten Analysis entsprechende Variationsprobleme behandeln kann. Insbesondere wird die zugehörige Euler-Lagrange Gleichung abgeleitet und für die Kontaktkräfte auf dem freien Rand erhält man Regularitätsaussagen. Ferner werden die analytischen Untersuchungen im Zusammenhang mit Fragen der Mechanik diskutiert.

Das Verständnis zellulärer Aggregationsprozesse bildet einen Schwerpunkt biologischer und medizinischer Forschung. Als wichtiges Kommunikationsinstrument zwischen Zellen wird dabei ein als Chemotaxis bezeichneter Mechanismus angesehen, bei dem eine von den Zellen ausgeschüttete chemische Substanz als Signalträger fungiert. Zur mathematischen Beschreibung dieses Vorgangs wurde in den vergangenen Jahren eine Vielzahl verschiedener Systeme von Diffusionsgleichungen vorgeschlagen, deren ``Herleitungen`` sich sämtlich auf stark vereinfachende Annahmen stützen. Der Vortrag soll einige solche in jüngerer Zeit diskutierten Modelle vorstellen und auf Grundlage analytischer Resultate bewerten. Vorrangiges Augenmerk soll dabei auf die Frage gerichtet werden, inwieweit das jeweilige Modell tatsächlich das Phänomen der Zellaggregation qualitativ korrekt beschreibt. Insbesondere sollen Effekte verschiedenartig nichtlinearer Diffusion erörtert werden.

Wir betrachten mathematische Modelle, die im Zusammenhang mit der Verbrennung poröser Medien stehen. Die Instabilitäten, die in Experimenten beobachtet werden können, spiegeln sich in der mathematischen Analyse wider: die auftretenden partiellen Differenzialgleichungen sind instabil oder sogar schlechtgestellt. Der Fokus des Vortrags ist ein instabiles freies Randwertproblem vom Typ des Hindernisproblems. Im Unterschied zum stabilen Hindernisproblem stellt sich hier jedoch heraus, dass die zweiten Ableitungen der Lösungen - im Falle des stabilen Hindernisproblems stets beschränkt - im Allgemeinen unbeschränkt sind. Wir diskutieren Singularitäten des freien Randes.

Die Navier-Stokes-Gleichungen, ein nichtlineares partielles Differentialgleichungssystem, sind ein Modell zur Beschreibung der Strömung viskoser, inkompressibler Fluide. In der mathematischen Analysis der instationären Gleichungen ist es ein berühmtes offenes Problem, ob glatte Lösungen für alle Zeiten konstruiert werden können. Ebenso ist die Verifikation der klassischen bzw. einer lokalisierten Energiegleichung, die i.Allg. nur formal hergeleitet werden kann, ein ungelöstes Problem. Besondere Schwierigkeiten treten in unbeschränkten Gebieten auf, da entscheidende Kompaktheitsargumente nicht mehr zur Verfügung stehen. Im Vortrag soll ein neuer Zugang zur Konstruktion sog. geeigneter schwacher Lösungen in beliebigen unbeschränkten Gebieten aufgezeigt werden, die der lokalisierten Energieungleichung genügen. Konsequenzen aus der Gültigkeit der lokalisierten Energieungleichung sind Aussagen zur partiellen Regularität und der berühmte Struktursatz von J. Leray über die Größe der Menge der ggf. auftretenden singulären Zeitpunkte. Der Vortrag beruht auf einer gemeinsam mit H. Kozono (Sendai, Japan) und H. Sohr (Paderborn) verfassten Arbeit, die 2005 in Acta Mathematica erschienen ist.

Beim Wasserwellenproblem handelt es sich um die dreidimensionale wirbelfreie Strömung einer idealen Flüssigkeit, die nach unten durch eine impermeable horizontale Ebene und nach oben durch eine freie Oberfläche beschränkt ist, wobei die Bewegung der freien Oberfläche durch Schwerkraft und Oberflächenspannung bestimmt wird. Dieses außergewöhnliche Problem ist mittlerweile zum Paradigma für die meisten modernen Methoden in der nichtlinearen Funktionalanalysis geworden. In diesem Vortrag möchte ich den gegenwärtigen Stand der Forschung über permanente Wasserwellen vorstellen, d.h. über Wellen, die sich mit konstanter Geschwindigkeit und ohne Formänderung bewegen. Ich möchte mich auf echt dreidimensionale Wellenbewegungen konzentrieren, bei denen die freie Oberfläche des Wassers immer ein zweidimensionales Muster aufweist, und ebenfalls auf Lösungen des kompletten hydrodynamischen Problemes (im Gegensatz zu Modellgleichungen). Unter diesen Wellenmustern befinden sich beispielsweise: (a) doppeltperiodische Wasserwellen; (b) Wellen, die ein pulsartiges oder Multi-Puls-Profil in einer horizontalen Richtung besitzen und periodisch in einer anderen horizontalen Richtung sind; (c) sogenannte voll lokalisierte solitäre Wellen, die ein pulsartiges Profil in jeder horizontalen Richtung besitzen. In diesem Vortrag werde ich die Existenzbeweise für die oben genannten Wasserwellen skizzieren. Der Schlüssel ist eine Formulierung des mathematischen Problems als unendlichdimensionales Hamiltonsches System mit unendlich vielen Freiheitsgraden und ein entsprechendes Variationsprinzip.

Wir betrachten die Evolution konvexer Flächen unter Krümmungsflüssen. Mit Hilfe von monotonen Größen zeigen wir, dass solche Flächen rund werden.

Gegenstand des Vortrages sind Mehrphasenströmungen in porösen Medien, also zum Beispiel die Beschreibung von Grundwasser im Erdboden, von Öl und Wasser bei der Ölförderung, oder von Wasser und Gas in Brennstoffzellen. Die Ableitung der mathematischen Modelle wird skizziert, insbesondere wird die wichtige Grösse des Kapillardruckes erklärt. Die mathematische Untersuchung der Gleichungen verlangt nach dem Einsatz von modernen Methoden der Analysis, die Schwierigkeiten entstehen durch die Degeneriertheit der Koeffizientenfunktionen und durch Randbedingungen vom Variationstyp. Für eine genauere Modellierung muss der Effekt der kapillaren Hysterese eingeschlossen werden. Wir diskutieren diesen Effekt und das resultierende System, in dem anstelle von Gleichungen Differentialinklusionen auftreten. Eine Homogenisierung des Systems führt auf effektive Gleichungen, die mit einer neuen zusätzlichen Variablen einen Gedächtnisterm beinhalten.

The present talk is based on my Ph.D. dissertation and consists of two more or less independent topics. First we investigate questions concerning Gauss measures on special noncommutative Lie groups, such as on the Heisenberg group and on the affine group. Then we deal with proving (central) limit theorems for infinitesimal triangular arrays of random elements with values in (special) locally compact Abelian topological groups. In case of the 3-dimensional Heisenberg group an explicit formula is derived for the Fourier transform of a Gauss measure at the Schrödinger representations. Using this explicit formula, we give necessary and sufficient conditions for the convolution of two Gauss measures to be a Gauss measure. It turns out that the convolution of Gauss measures on the Heisenberg group is almost never a Gauss measure. In case of the affine group F it is shown that a Gauss measure on F can be embedded only in a uniquely determined Gauss semigroup. Moreover, we give a complete description of supports of Gauss measures on the affine group using Siebert`s support formula. Concerning limit theorems on locally compact Abelian topological groups first we recall the most important notions and known results in the theory. As new results we prove necessary and sufficient conditions for convergence of the row sums of symmetric arrays, where the limit measure can also be a nondegenerate normalized Haar measure on a compact subgroup. Then we investigate special Abelian topological groups: the group of p-adic integers and the p-adic solenoid.

In seinem ersten Buch “Disquisitiones Arithmeticae” (1801), hat C.F. Gauß geschrieben: “Das Problem des Unterscheidens von Primzahlen und zusammengesetzten Zahlen, und das Zerlegen von großen Zahlen in ihre Primfaktoren, ist eine der wichtigsten und interessantesten Aufgaben der Arithmetik.” Jetzt k¨onnen wir dazu sagen, dass die zwei Probleme eine zentrale Stelle nicht nur in der algorithmischen Zahlentheorie, sondern auch in der Kryptographie einnehmen. In dem Vortrag wird das erste Problem besprochen: Wie kann man schnell erkennen, ob eine gegebene nat¨urliche Zahl eine Primzahl ist? Es gibt einen sehr schnellen Miller–Rabin Primzahlentest, der es ermöglicht die Zahlen mit 10 000 Ziffern zu untersuchen. Dieser Test ist probabilistisch, deshalb gibt er nicht immer richtige Antworten. 2002 haben die drei indischen Mathematiker Manindra Agrawal, Neeraj Kayal und Nitin Saxena einen Artikel “PRIMES is in P” veröffentlicht. Der AKS–Test ist deterministisch und polynomial. Das heißt, dass er immer richtige Antworten gibt und in einer polynomialen Zeit läuft. In dem Vortrag wird eine einfache Erklärung des AKS–Tests gegeben und es werden neue Hypothesen besprochen.

Relaxierungen spielen eine entscheidende Rolle, wenn ein diskretes Optimierungsproblem (etwa mit Branch-and-Bound) gelöst werden soll. Neben der bekannten LP-Relaxierung sind in den letzten Jahren vermehrt so genannte semidefinite Relaxierungen betrachtet worden. Das urspr¨ungliche Problem wird dabei in einen h¨oherdimensionalen Raum von Matrixvariablen transformiert, wobei die Ganzzahligkeitsbedingungen mittels spezieller Matrixbedingungen relaxiert werden: es wird verlangt, dass die Matrixvariable im Kegel der positiv semidefiniten Matrizen enthalten sei. Für solche semidefinite Programme gibt es sehr effiziente Algorithmen. Die Lösung erfordert zwar einen etwas höheren Rechenaufwand als die Berechnung der LP-Relaxierung, qualitativ ist die semidefinite Relaxierung der LP-Relaxierung aber oft deutlich ¨uberlegen. Noch bessere Schranken (in manchen F¨ allen sogar die Optimall¨osung) lassen sich berechnen, indem man statt des Kegels der semidefiniten Matrizen andere konvexe Kegel, zum Beispiel den Kegel der so genannten copositiven Matrizen betrachtet. Im Vortrag sollen Vor- und Nachteile dieser Relaxierungstechniken diskutiert werden. Insbesondere wird ein neues Approximationsschema vorgestellt, mit Hilfe dessen copositive Programme bis auf eine vorgegebene Genauigkeit gelöst werden können. Der Ansatz beruht auf polyedrischen Approximationen des copositiven Kegels sowohl von innen als auch von außen. Ersetzt man den copositiven Kegel durch diese approximierenden Kegel, so erhält man ein lineares Problem, das effizient gelöst werden kann. Durch geschickte Verfeinerung der Approximation erzeugt man eine Folge von LPs, die das vorgegebene copositive Programm beliebig genau approximieren. Dabei kann die Verfeinerung so gesteuert werden, dass nur in dem für die Optimierung relevanten Bereich verfeinert wird und der numerische Aufwand begrenzt bleibt. Die Resultate zur Copositiven Optimierung sind in Zusammenarbeit mit Stefan Bundfuss entstanden.

(Joint work with P. Weil and A. Roig) The classical Whitehead algorithm to check whether two words in a free group belong to the same orbit has two separated steps, the first of which being typically polinomial on the length of the words, and exponential on the ambient rank. However, some recent heuristics, partial results and computational experiments indicate that, in practice, the algorithm is faster than this. We present a modification of this classical algorithm which is polynomial on both the length and the rank ambient. The new algorithm is surprisingly simple, making use of a classical argument about Whitehead automorphisms and Whitehead graphs, and the classical Max-Flow Min-Cut algorithm for graphs. The mentioned result is, in fact, extended from pairs of words to pairs of finitely generated subgroups, following an idea of S. Gersten. As an application, we obtain the first polynomial algorithm checking wether two given subgroups of a free group are one a free factor of the other.