Isogeometric analysis uses a common set of basis functions for the design in a Computer-Aided Design (CAD) program and the analysis with the finite element method (FEM). In this work the basis functions of Non-Uniform Rational B-splines (NURBS) surfaces are used. The properties of NURBS surface basis functions make them a good choice for the use as basis functions in the finite element method. However, the tensor-product property of NURBS surfaces requires the use of methods for the coupling of non-conforming NURBS domains, which occur in complex geometry models. The mortar method allows a flexible decomposition of the domain of a problem into subdomains in which the discretization does not have to match. The subdomains are connected by using constrained approximation spaces which results in a replacement of the standard basis functions by mortar basis functions on the slave side of the interface. This method fits very well to NURBS-based isogeometric analysis and it neither requires the definition of empirical parameters nor additional degrees of freedom. But the standard form of the isogeometric mortar method yields mortar basis functions with non-local support along the interface, which significantly deteriorates numerical efficiency. Within this contribution the use of approximate dual basis functions as test functions within the mortar coupling is proposed. This approach is compared to standard dual basis functions. The locality of the support and thus numerical efficiency depends on the choice of the test functions within the mortar method. If approximate dual basis functions are used, local support is recovered. The accuracy and efficiency of the proposed isogeometric mortar approach is shown to be competitive to other coupling techniques, and especially competitive to computations of conforming NURBS meshes with shared degrees of freedom. The applicability of the isogeometric dual mortar approach to nonlinear problems and to Reissner-Mindlin shell formulations is shown with the help of numerical examples.

I discuss the combination of a microscopic theory for the rheological behavior of glass-forming fluids and glasses with lattice Boltzmann (LB) simulations of the macroscopic flow fields. Glass-forming fluids are characterized by slow structural relaxation. Macroscopic flow interrupts this relaxation, and pronounced nonlinear-rheology phenomena (such as shear thinning) arise. Starting from a formally exact equation of motion for microscopic density fluctuations, the mode-coupling theory of the glass transition derives a constitutive relation for non-Newtonian stresses that takes the form of a set of nonlinear integral equations. We solve (a simplified version of) these integral constitutive equations with a hybrid-LB method. I discuss exemplary results for the transient flows after startup and cessation of pressure-driven flow. In particular, after cessation of the flow, long-lived residual stresses arise that are predicted to persist indefinitely in the glass.

We deal with the design of a magnetic ruler as an absolute positioning system. Trapezoid-shaped magnetic areas are placed side by side, so that the resulting pattern enables a unique encoding of each position up to a micrometer level. The problem of finding a longest-possible ruler is formulated as a linear mixed-integer problem. We demonstrate how to approximate the magnetic signal, using measured data from Hall sensor cells. From there, we discuss how the absolute position is recovered. (This is joint work with: M. Fügenschuh, M. Ludszuweit, A. Mojsic, & J. Sokol)

Technische Bauteile oder physikalische Modelle weisen vielfach Strukturen mit sehr unterschiedlichen Skalen auf, die sich mit numerischen Algorithmen direkt nur mit erheblichem Aufwand auflösen lassen. Für die numerische Modellierung attraktiv sind Modelle oder Hierarchien von Modellen, die die kleinen Skalen nur effektiv mitnehmen. Oder man konstruiert optimale Basisfunktionen aus der asymptotischen Lösungsdarstellung, die die kleinen Skalen enthalten.
Eine weitere Herausforderung für numerische Verfahren ist das singuläre Lösungsverhalten, insbesondere durch in der Ingenieurpraxis verwendete geometrische Strukturen mit Ecken und Kanten. Singuläre Lösungen lassen sich effektiv durch adaptive Finite-Elemente- Methoden (FEM) oder Randelementemethoden (BEM) mit einer Verfeinerung in der Nähe der Ecken und Kanten auflösen, wobei die a priori-Theorie auf einer Lösungsdarstellung in der Umgebung der Ecke oder Kante basiert. Die Theorie von h-adaptiven FEM auf graduierten Gittern oder hp-adaptiven FEM auf geometrisch verfeinerten Gittern für singuläre Lösungen basiert auf einer Lösungsdarstellung in der Umgebung der Ecke oder Kante. Zudem können die singulären Funktionen in der Lösungsdarstellung zur Anreicherung der Finite-Elementräume benutzt werden, die nun als verallgemeinerte FEM bezeichnet werden.
In dem Vortrag möchte ich die Herausfordungen von numerischen Verfahren zur effizienten und effektiven Auflösung von partiellen Differentialgleichungen (i) mit singulärem Verhalten, (ii) mit mehreren Skalen und (iii) mit einer Interaktion von Singularität und Mehrskalencharakter diskutieren.

Viele Prozesse in den Natur- und Ingenieurwissenschaften beruhen auf dem komplexen Zusammenspiel nichtlinearer Effekte auf zahlreichen und mitunter nicht separierbaren Längenskalen (und Zeitskalen). Die direkte numerische Simulation der entsprechenden Modelle partieller Differentialgleichungen ist oft sehr schwierig oder gar unmöglich, da bei der Diskretisierung nicht alle relevanten Skalen hinreichend aufgelöst werden können. Numerische Mehrskalenmethoden erlauben es in einigen Fällen, die Modellkomplexität auf ein berechenbares Maß zu reduzieren und gleichzeitig die gewünschten charakteristischen Eigenschaften des Prozesses in der Simulation abzubilden. Der Vortrag illustriert dies am Beispiel numerischer Homogenisierung jenseits restriktiver struktureller Annahmen wie Skalenseparation oder Periodizität.

Wir bezeichnen eine Differentialgleichung als Interface-Problem, wenn es einen inneren Kopplungsrand gibt, entlang dem sich der Typ der Gleichung, oder aber die Parameter der Gleichung ändern. Die Regularität der Lösung ist an diesem Kopplungsrand üblicherweise reduziert. Beispiele für Interface-Probleme finden sich in der Struktur-Mechanik, wenn inhomogene Materialien mit unterschiedlichen Strukturparametern betrachtet werden, aber auch bei Mehrphasenströmungen. Speziell betrachten wir Probleme der Strukturmechanik mit aktivem Materialverhalten, mit Wachstum, Materialänderung, z.B. durch Materialschädigung und Heilung. Hier kommt als zusätzliche Schwierigkeit hinzu, dass sich das Interface im Laufe der Zeit bewegt.
Für einfache elliptische und parabolische Interface-Probleme führen wir ein Finite-Elemente Verfahren ein, von dem wir optimale Konvergenzordnung bezüglich örtlicher und zeitlicher Diskretisierung nachweisen können. Die örtliche Diskretisierungskomponente basiert auf einer lokal angepassten Finite-Elemente Basis, die das Interface akkurat berücksichtigt. Zur zeitlichen Diskretisierung betrachten wir die effiziente Approximation eines angepassten zeitlichen Galerkin-Ansatzes. Für parabolische Interface-Probleme können wir quadratische Konvergenz sowohl analytisch als auch durch numerisch nachweisen.

We present a phase-field model for multiphase flow of arbitrary number of immiscible incompressible fluids with variable densities and viscosities. The model consists of a system of variable density and viscosity Navier-Stokes equations coupled to multicomponent Cahn- Hilliard variational inequalities. The proposed formulation admits a natural energy law, exactly preserves physically meaningful constraints and allows for a straightforward modeling of surface tension effects. We propose a practical fully-discrete finite element approximation of the model which preserves the energy law and the associated physical constraints. In the case of matched densities we prove convergence of the numerical scheme towards a weak solution of the continuous model. As a by product of the convergence result we obtain existence of weak solutions. Furthermore, we propose a convergent iterative fixed-point algorithm for the solution of the discrete nonlinear system of equations and present various computational studies to demonstrate properties of the phase-field model.

Im Vortrag werden Langzeiteigenschaften Hamiltonscher partieller Differentialgleichungen und deren qualitativ korrekte Wiedergabe durch numerische Diskretisierungen besprochen. Der Schwerpunkt liegt dabei auf der Stabilität ebener Wellen auf langen Zeitintervallen für Lösungen der nichtlinearen Schrödingergleichung. Nach einer Einführung in die Stabilität im Falle der exakten Lösung wird der Frage nachgegangen, inwiefern und unter welchen Voraussetzungen die Split-Step-Fourier-Methode, ein Standardverfahren zur Diskretisierung solcher Gleichungen, diese Eigenschaft auch auf langen Zeitintervallen qualitativ korrekt wiedergeben kann.

Wir betrachten Galerkin Approximationen für stetige lineare Probleme. Sind die Diskretisierungen inf-sup stabil, so sind die Galerkin Lösungen im Ansatzraum quasi optimal, d.h. optimal bis auf eine Konstante. Dabei hängt die Konstante von der Stabilität der Diskretisierung und der Stetigkeit des Problems ab.
Für elliptische partielle Differentialgleichungen ist dieses Prinzip als Lemma von Cea bekannt. Es ist elementar wichtiger Bestandteil sowohl der a priori Konvergenzanalyse als auch der Konvergenz- und Optimalitätsanalysis für adaptive Finite Elemente Methoden.
In der Numerischen Analysis parabolischer Differentialgleichungen wird die inf-sup Stabilität bisher selten verwendet. Zwar können so trotzdem oft Fehlerabschätzungen mit optimalen Raten bewiesen werden, diese gelten jedoch meist nur für schwächere Normen.
Im Vortrag verschaffen wir uns zunächst einen Überblick über Ergebnisse in der elliptischen Theorie. Daraufhin zeigen wir die inf-sup Stabilität und somit die quasi-Optimalität adaptiver impliziter Euler Petrov-Galerkin Diskretisierungen für parabolische Gleichungen. Mit Hilfe eines Interpolationsoperators erhalten wir daraus eine a priori Abschätzung und folgern als eine Konsequenz, dass ein „Gegenbeispiel“ von T. Dupont, bei dem die Approximationen nicht gegen die Lösung konvergieren, scharf ist.
Abschließend werden wir offene Projekte und sich daraus ergebende potentielle zukünftige Projekte diskutieren.

Nonsmooth terms in partial differential equations (PDEs) arise in various applications. Reasons for such nonsmooth terms can, for example, be non-penetration conditions or nonsmooth material laws in continuum mechanics, singular nonlinearities in material science applications, or intrinsic constraints resulting from modeling assumptions.
The numerical treatment of such nonsmooth terms requires special care, because classical nonlinear techniques like, e.g., Newtons method, rely on smoothness. As a consequence such methods typically fail or degenerate for nonsmooth problems making them either inapplicable or inefficient.
In the talk we present a range of numerical methods that have been developed for the numerical treatment of nonsmooth PDEs. A common feature of those methods is, that they rely on convex structure instead of smoothness. The combination of nonsmooth optimization approaches and adaptive multilevel techniques leads to highly efficient and robust methods for nonsmooth or degenerate smooth problems.
The efficiency of the presented numerical methods is illustrated by examples from material science and biomechanics. This is complemented by a discussion on efficient numerical software which is another key ingredient for overall efficiency and an outlook of related current research.

In Anwendungen, die durch freie Randwertprobleme modelliert werden können, treten zuweilen Phänomene oder Prozesse auf den freien Rändern auf. Exemplarisch seien hier genannt: Diffusion von Fremdatomen entlang von Korngrenzen in Metall-Legierungen, oberflächenaktive Substanzen in Mehrphasenfluiden, oder Membranproteine bei Zellmigration. Viele Modellansätze beruhen auf einer Parametrisierung des freien Randes. Im wohl einfachsten Fall beschreibt eine geometrische Differentialgleichung den freien Rand und ist an eine Oberflächengleichung gekoppelt. Die Relaxationsdynamik von Zweiphasenmembranen und dimensionsreduzierte Modelle für Zellbewegung fallen in diese Kategorie. Finite-Elemente Methoden können benutzt werden, um Lösungen zu approximieren. Die Konvergenzanalyse ist verkompliziert durch Nichtlinearitäten, aber es gibt erste Ergebnisse für Kurven. Die Phasenfeldmethode ist ein anderer Modellierungsansatz, bei dem die freien Ränder indirekt erfasst und durch dünne Schichten beschrieben werden. Eine Finite-Elemente Methode wurde für den Fall von Doppelhindernis-Potentialen entwickelt, bei denen die Oberflächengleichungen degeneriert sind und nur in der dünnen, beweglichen Randschicht existieren. Der Schwerpunkt aktueller Arbeiten liegt auf dem Mehrphasenfall und auf der korrekten Erfassung der Bedingungen in Punkten, in denen sich drei Phasen treffen.

Artificial boundaries of computational domains for the Navier-Stokes equations should allow for simultaneous in- and outflow. A frequently used condition is the so called do-nothing condition (Heywood, Rannacher, Turek, 1996) which arises automatically in the cases of variational formulations due to partial integration of the full stress tensor. Although this boundary condition is useful in many configurations, the absence of stability has some theoretical and practical shortcomings. Development and analysis of modifications of this 'outflow' condition are important. This talk addresses recent results for the directional do-nothing condition for incompressible flows. We address in particular an a priori error estimate for stabilized finite elements. Moreover, we report on some numerical examples.

Im Mittelpunkt des Vortrags steht ein System nichtlinearer partieller differential-algebraischer Gleichungen 4. Ordnung, das im asymptotischen Limes die Dynamik dünner elastischer längentreuer Balken beschreibt. Für die lokale Längenerhaltung wird ein numerisches Verfahren mit rigoroser Konvergenzanalyse vorgestellt. Modell und Methode finden ihre Anwendung bei der Simulation technischer Textilien.

Recently the Rheology of dense suspensions of non-colloidal spheres in yield-stress fluids has been studied (Dagois-Bohy et al. 2015). The results show that in the Stokesian regime of viscometric flows, the particle pressure and shear stress have forms similar to that of Newtonian suspensions. However, the apparent viscosity of the suspending fluid is the viscosity seen by the particles, which depends on the local shear rate. Here, we study channel flows of dense suspensions of non-colloidal particles in yield-stress fluids. These flows are challenging in that the combination of non-Newtonian rheology and particle migration results in sharp variations in shear rate and effective viscosity. Therefore, the suspensions vary from Stokesian behavior to inertial behavior across the width of the channel. In this work the Suspension Balance Model of Nott and Brady 1994 is extended to include non-Newtonian and inertial effects. This results in a set of scaled equations of motion for the mixture of non-colloidal particles suspended in a yield stress fluid plus a transport equation for the solid volume fraction. Asymptotic approach is used to derive the leading order governing equations in the limit of long and thin channel. It is shown that a 1D nonlinear advection equation governs the streamwise dispersion of solid volume fraction to the leading order. The flow profiles and solid dispersion are computed for a range of dimensionless flow parameters. The results show that the solid dispersion strongly depends on inertial and non-Newtonian effects.

Reference:
Dagois-Bohy, S., Hormozi, S., Guazzelli, E. & Pouliquen, O. Rheology of dense suspensions of non-colloidal spheres in yield-stress fluids. J. Fluid Mech. 776, R2 1–11 (2015).
Nott, P.R & Brady, J.F., Pressure-driven flow of suspensions: simulation and theory. J Fluid Mech 275 (1994) 157-199

The classification of Riemannian manifolds with positive and non-negative sectional curvature is a long-standing problem in Riemannian geometry. In this talk I will summarize recent joint work with Catherine Searle on the classification of closed, simply-connected, non-negatively curved Riemannian manifolds admitting an isometric, effective, maximal torus action. This classification has many applications, in particular the Maximal Symmetry Rank conjecture holds for this class of manifolds.

The Hofer-Zehnder capacity of a symplectic manifold has an easy definition but is hard to compute. Finiteness has strong consequences for the Hamiltonian dynamics on the symplectic manifold. Even for simple manifolds like unit disk bundles (i.e. classical Hamiltonian systems) finiteness is in general open. I will explain conditions under which symplectic homology with local coefficients of a unit disk bundle of M vanishes. For instance this is the case if the Hurewicz map \pi_2(M)→H_2(M) is nonzero. As an application we prove finiteness of the \pi_1-sensitive Hofer-Zehnder capacity of unit disk bundles in these cases. This is joint work with Urs Frauenfelder and Alexandru Oancea.

We employ variational methods to find periodic orbits of a charged particle moving under the influence of a magnetic field on a closed Riemannian manifold. In particular, we generalize to our setting two classical results in the theory of standard geodesics due to Lusternik-Fet and to Bangert, respectively.
In the first theorem (with Luca Asselle), we prove that if the ambient manifold is not a K(G,1), then for almost every E>0, there exists a contractible magnetic geodesic with energy E.
In the second theorem (with Luca Asselle, Alberto Abbondandolo, Marco Mazzucchelli, and Iskander Taimanov), we show that if the manifold is a surface and the magnetic field is oscillating, then for almost every small E>0, there exist infinitely many closed magnetic geodesics with energy E.

This introductory compact course will be a hands-on tutorial on how to access the tremendous compute capabilities of modern Graphics Processing Units (GPUs) to accelerate scientific and especially numerical codes. The compact course adresses the general hardware- and programming models which serve as the foundation of using GPUs as floating point arithmetic accelerators especially using NVIDIA's Compute Unified Device Architecture (CUDA) and provides practical insight into first steps as well as basic and some advanced techniques to port numerical code to GPUs and optimise it for this powerful hardware architecture.

We propose and analyse space-time discontinuous Galerkin (DG) finite element methods for hyperbolic systems of conservation laws. To ensure entropy stability, the discretisation is performed in entropy variables and entropy-stable numerical fluxes are used. As solutions of hyperbolic conservation laws can develop discontinuities (shocks) in finite time, we include a streamline diffusion and a shock-capturing term in the formulation to suppress spurious oscillations in the vicinity of shocks. The approximate solutions are shown to converge to an entropy measure-valued solution for systems of conservation laws. The implicitness of the method does not give rise to a CFL condition. The method can therefore be applied to problems with multiple time scales such as low Mach number flows near the incompressible limit. Furthermore, the fully discrete space-time formulation allows a local refinement in space and time, which permits for instance to capture shocks more sharply. We employ residual-based as well as duality-based approaches to guide the refinement procedure. We have considered a large number of problems for instance for Burgers' equation, the wave equation, and the Euler equations in one or two spatial dimensions. These experiments demonstrate the robustness and the high-resolution properties of the schemes.

Die Finite Elemente Methode (FEM) ist ein sehr häufig eingesetztes numerisches Näherungsverfahren für die Lösung von partiellen Differentialgleichungen. Aufgrund fehlender Regularität erreicht sie in praktischen Problemen aber häufig ihre bestmögliche Konvergenzordnung nicht. Adaptive Ansätze sind in der Lage, auch für nicht reguläre Probleme die optimale Konvergenz sicherzustellen. Anhand der Poissongleichung in zwei Raumdimensionen werden die wesentlichen Bestandteile der adaptiven FEM für lineare Dreieckselemente eingeführt. Dabei handelt es sich um den a posteriori Fehlerschätzer, die Markierungs- und die Verfeinerungsstrategie. Konkret werden hier der residuale Fehlerschätzer, die Markierungsstrategie nach Dörfler sowie der ``Newest Vertex Bisection`` Algorithmus zur Verfeinerung betrachtet. Anschließend wird für den Fall verschwindender Datenapproximation bewiesen, dass die adaptive FEM linear konvergent ist, und ihre Quasioptimalität diskutiert.

Die Festlegung adäquater Versicherungsprämien in der Sachversicherung erfolgt in der Praxis durch Risikomaße (Prämienprinzipien). Soll dabei der Risikoausgleich im Kollektiv berücksichtigt werden, muss das Risikomaß auf dem Gesamtrisiko des betrachteten Versicherungskollektivs ausgewertet werden. Die resultierende Gesamtprämie kann dann gleichmäßig unter den Einzelrisiken aufgeteilt werden. In diesem Vortrag werden zwei einfache nichtparametrische Schätzer für die so gewonnene Einzelprämie vorgestellt und hinsichtlich statistischer Eigenschaften diskutiert.