In diesem Vortrag geht es um quadratische Formen über Körpern der Charakteristik 2. Da diese sich etwas anders verhalten als in Charakteristik ungleich 2, werde ich zu Beginn einen kurzen Überblick geben, wie die Situation in Charakteristik 2 ist. Zum Beispiel können dort quadratische Formen im Allgemeinen nicht mehr diagonalisiert werden und man muss auch singuläre Formen mit einbeziehen. Anschließend geht es um die Verbindung von zwei Äquivalenzrelationen von quadratischen Formen: der Ähnlichkeit und der Vishik-Äquivalenz. Zwei Formen heißen ähnlich, falls sie sich (wie üblich immer bis auf Isometrie) nur um einen Faktor unterscheiden und sie heißen Vishik-äquivalent, falls sie die gleiche Dimension besitzen und über jeder Körpererweiterung das gleiche Isotropieverhalten zeigen. Hierbei spielt im Gegensatz zur Charakteristik 2 nicht nur der Witt-Index eine Rolle, sondern auch der Defekt des total singulären Anteils einer Form. Ähnliche Formen sind immer Vishik-äquivalent. Die wesentliche Frage ist: Wann gilt auch die Umkehrung? In Charakteristik ungleich 2 wurde diese Frage fast vollständig (d.h. bis auf in einer Dimension) gelöst, in großen Teilen von Oleg Izhboldin. Ich werde versuchen einen kurzen Überblick zu geben, welche Ergebnisse in Charakteristik 2 bekannt sind. Insbesondere möchte ich mich dann auf die Dimensionen konzentrieren, in denen Gegenbeispiele im Bezug auf die obere Frage bekannt sind. Eine wesentliche Rolle spielen dabei sogenannte Halbnachbarn, da diese Formen immer Vishik-äquivalent sind. Für jede Dimension der Form 2^n mit n größer gleich 3 haben Detlev Hoffmann und Kristyna Zemkova nicht-singuläre Halbnachbarn konstruiert, also insbesondere Vishik-äquivalente Formen, die jedoch nicht ähnlich sind. Für die Dimension 8 haben sie außerdem gezeigt, dass sich solche Gegenbeispiele auch mit semi-singulären Formen konstruieren lassen und zwar für jede mögliche Dimension des total singulären Anteils. Ich werde versuchen zu skizzieren, wie dies auch für eine allgemeine Dimension 2^n, n größer gleich 3, möglich ist.

Die Professionalisierung von angehenden Mathematik-Lehrkräften lebt von wirksamen Lerngelegenheiten, die kognitive sowie affektiv-motivatonale Dispositionen gleichermaßen ansprechen. Anhand verschiedener Beispiele wird das Zusammenspiel der verschiedenen Dispositionen betrachtet und die Relevanz für die Professionalisierung von angehenden Lehrkräften herausgestellt. Die Professionalisierung von praktizierenden Mathematik-Lehrkräften gelingt nur, wenn Fortbildungsangebote wirksam gestaltet, implementiert und nachhaltig verankert werden. Im Vortrag wird der Blick auf zentrale Ergebnisse der Forschung zur Fortbildungsforschung im Fach Mathematik und deren Beitrag zur Weiterentwicklung der Lehrkräfteprofessionalität gerichtet. Insbesondere wird anhand von Beispielen aufgezeigt, wie Expertise von Lehrkräften, aber auch Multiplizierenden, in Fortbildungen und Qualifizierungen situiert, handlungsnah und praxisrelevant sowie veränderungssensibel erfasst wer- den kann.

We discuss several models of opinon dynamics, where agents tend to align their opinions with their neighbours when they interact. We start with the classical voter model, where opinions can have only two values. Then we explain the Deffuant model and present several open conjectures. We give some results and conjectures about the compass model which is a variant of the Deffuant model where opinions take values on the unit circle. Finally we discuss the averaging process on infinite graphs.
The results were obtained in collaboration with Markus Heydenreich and Timo Vilkas.