Der Begriff der geometrischen Datenverarbeitung bezieht sich ganz allgemein auf Erzeugung, Analyse, Optimierung, Darstellung, Übertragung und Speicherung von geometrischer Information. Unterteilungsalgorithmen und Wavelet Tight Frames bieten einfache, effiziente Verfahren zur Flächenerzeugung, Komprimierung und hierarchischen Darstellung von Freiformflächen. Die Unterteilungsalgorithmen sind ein wesentlicher Bestandteil von vielen modernen Computergraphikanwendungen und kommen insbesondere in der Computeranimation vor. Die Multiskalenmethoden, wie z.B. Wavelet Tight Frames, werden unter anderem für progressive Übertragung von geometrischen Daten im Internet verwendet. Der Vortrag wird auf die mathematischen Grundlagen dieser beiden Aspekte der geometrischen Datenverarbeitung detailliert eingehen.

Zunächst soll die lange historische Entwicklung der Mathematik kurz skizziert werden, von Euklid bis Bourbaki. Ein wichtiger Teil davon ist der Aufbau des Gebäudes der Zahlen, dann soll auch spezieller auf die Geschichte der linearen Algebra eingegangen werden. Es wird versucht, daraus Konsequenzen für ein motiviertes Lernen zukünftiger Lehrer abzuleiten. Schließlich wird der Entwurf eines neuen Curriculums in Mathematik der TU München für Lehrer an Gymnasien vorgestellt

Die Optimalsteuerung partieller Differentialgleichungen spielt bei der Optimierung zahlreicher technischer Anwendungen eine tragende Rolle. Beispielhaft sei die Optimierung von Wärmeausbreitungsprozessen genannt, durch die die Härtung von Stahlbauteilen modelliert wird. Bei der numerischen Lösung derartiger Optimierungsprobleme greifen Analysis und Numerik eng ineinander. So ist beispielsweise die Herleitung von Optimalitätsbedingungen eine wichtige Basis zur Entwicklung effizienter Diskretisierungsverfahren und schneller Optimierungsalgorithmen. Allerdings weisen praxisnahe Optimalsteuerprobleme oft einen nicht-glatten Charakter auf. Besonders hervorzuheben sind hierbei zustandsbeschränkte Aufgaben und die Optimalsteuerung von Variationsungleichungen, die in vielen Anwendungen auftreten. Der Vortrag zeigt, wie man derartige Optimierungsprobleme trotz ihres nicht-glatten Charakters dennoch numerisch lösen und gleichzeitig entsprechende Konvergenzresultate gewinnen kann. Die Leistungsfähigkeit der entwickelten Ansätze wird abschließend anhand eines exemplarischen Optimierungsproblems aus dem Bereich der Stahlhärtung illustriert.

In diesem Vortrag werden zuerst einige grundlegende Konzepte der konjugierten Dualitätstheorie präsentiert, wobei in diesem Zusammenhang die wichtige Rolle der Qualifikations-Bedingungen hervorgehoben wird. Diese Untersuchungen sind grundlegend für die Formulierung von exakten Subdifferentialformeln und, damit verbunden, von notwendigen Optimalitätsbedingungen bei konvexen Optimierungsaufgaben. Es werden einige theoretische Anwendungen, sowohl in der Theorie der monotonen Operatoren, als auch bei inversen und schlecht gestellten Problemen besprochen. Abschließend wird eine Reihe von praktischen Anwendungen in der digitalen Bildverarbeitung, in der Risikotheorie und auf dem Gebiet des maschinellen Lernens behandelt.

Optimalsteuerungsprobleme treten in vielen Anwendungen auf. Exemplarisch wird im Vortrag auf optimale Kontrolle von Strömungsproblemen eingegangen. Um solche Probleme untersuchen zu können, sind Techniken aus verschiedenen Teilgebieten der Mathematik nötig: Analysis der zugrunde liegenden partiellen Differentialgleichung, die Charakterisierung der Lösung mit Methoden der Optimierung, und numerische Verfahren zur Diskretisierung und approximativen Lösung. Als Modellproblem zur Verdeutlichung dieses Sachverhaltes wird ein Optimalsteuerungs-problem mit Ungleichungsnebenbedingungen betrachtet. Hier konnten neue Resultate zur a-posteriori Fehlerabschätzung bewiesen werden, die eine effiziente Diskretisierung durch adaptive Gitteranpassung ermöglichen. Der Vortrag schließt mit einem Ausblick auf weitere Forschungskooperationen: Optimierung mit Variationsungleichungen als Nebenbedingung bzw. die Anwendung von Rand- und Interface konzentrierter FEM auf Optimierungsprobleme.

Der Einsatz mathematischer Methoden zur Modellierung, Analyse und Simulation ist zu einem unverzichtbaren Instrument zur Beherrschung komplexer wissenschaftlich-technischer Prozesse auch in Industrie und Wirtschaft geworden. Dabei verschiebt sich das Gewicht inzwischen von reiner Simulation hin zur Lösung von Optimierungsproblemen. So verlangen z.B. Modelle dynamischer Prozesse nach Methoden der nichtlinearen Parameterschätzung zur Validierung der Modelle. Die oft unzureichende Datenlage verlangt nach kosten- bzw. informationsoptimaler Planung von Experimenten bzw. Datenerhebungen. Die Optimale Auslegung und Steuerung von Prozessen führt auf die Lösung von großen restringierten Optimierungsproblemen, die beim Auftreten von Störungen sogar in Echtzeit gelöst werden müssen. Verlässt man sich allerdings auf die Ergebnisse von Computersimulationen und Optimierung, stellt sich die Frage, wie man deren Präzision und Zuverlässigkeit garantieren kann. Modelle und Daten sind in der Praxis niemals exakt, sondern immer mit - manchmal großen – Unsicherheiten behaftet. Der Vortrag berichtet über neue, schnelle und zuverlässige mathematische Methoden, aussagefähige Simulations- und Optimierungsergebnisse zu berechnen und dabei auch Unsicherheiten mit einzubeziehen. Die Leistungsfähigkeit und breite Einsetzbarkeit der Methoden wird anhand praktischer Anwendungsprobleme belegt, die großenteils aus Projekten mit Industrie und Wirtschaft stammen und die typische Schwierigkeiten der Praxis aufweisen.

In Gabor analysis one studies the construction and properties of series expansions of functions with respect to a set of time-frequency shifts (phase space shifts) of a single function. Such expansions, which are nowadays called Gabor series, arise in quantum mechanics as coherent state expansions, in wireless communications for orthogonal frequency division multiplexing (OFDM), in operator theory as non-commutative tori. Furthermore, the construction of certain Gabor expansions is equivalent to sampling and interpolation theorems in Bargmann-Fock space in complex analysis. In this talk I will survey the main structure theorems for Gabor frames and Gabor expansions and discuss some classes of Gabor frames. I will try to explain some of the connections to other areas of mathematics.