Zur Zeit erleben wir in Deutschland vor allem im Wirtschaftssektor einen Chinahype. Auch auf der politischen Schiene ist Deutschland mit China gut Freund. Wie sieht es aber mit dem Bildungssektor in diesem riesigen Land aus? Wie sind die Bildungschancen verteilt? Nach einer kurzen allgemeinen Einführung geht der Vortrag speziell auf den Mathematikunterricht in China ein. An authentischen Beispielen wird die aus chinesischer Sicht ideale Mathematikstunde aufgezeigt. Es werden Tests und Klassenarbeiten besprochen. Ebenso wird auf die derzeitige mathematikdidaktische Forschung und Projekte eingegangen. Der Vortrag wird durch viele Bilder und einige Unterrichtsvideos (mit Untertiteln) angereichert.

Der Vortrag berichtet darüber, wie Lehramtsstudierende im Rahmen einer Einführungsveranstaltung zu eigenen geometrischen Aktivitäten angeregt werden können - im Hinblick auf die später zu vermittelnden Kompetenzen ein wichtiges Prozessziel auch in der Lehrerausbildung. Methodisch inspirierend waren dabei Wittmanns A-Skript/O-Skript-Methode und der Ansatz des dialogischen Lehrens (Ich-Du-Wir, vom Singulären zum Regulären) von Gallin/Ruf. Als hilfreich erwiesen sich die heute verfügbaren elektronischen Kommunikationsformen. Am Beispiel der Viereckslehre wird das Veranstaltungskonzept erläutert.

Handlungsorientierung gehört zu den ehernen didaktischen Prinzipien. Leider profitieren Kinder, die in Mathematik besonders leistungsschwach sind, nicht in der gewünschten Weise von ihren Handlungen an Materialien. Das liegt einerseits an den Materialhandlungen selbst, andererseits daran, dass diesen Kindern der Prozess der Verinnerlichung von Handlungen zu (mentalen) Vorstellungen ohne zusätzliche Hilfe nicht gelingt. Im Vortrag werden typische Probleme leistungsschwacher Kinder bei Materialhandlungen vorgestellt und Möglichkeiten aufgezeigt, wie diesen Kindern im Sinne einer echten Handlungsorientierung geholfen werden kann, Vorstellungsbilder aus den Handlungen an Materialien zu entwickeln.

Recently frames or redundant expansions of signals attracted a considerable interest of researchers working in signal processing. As the requirement of one-to-one correspondence between the signal and its transform coefficients is dropped, there is more freedom in the design and implementation of the frame transforms. The frame expansions of signals demonstrate resilience to the quantization noise and to the coefficients losses. Thus, frames may serve as a tool for error correction by the transmission of signals through lossy channels. Additional adaptation abilities of the overcomplete representation of signals has a potential to succeed in denoising and compression of signals.

Bei jedem vierten Jugendlichen in Deutschland ist der erfolgreiche Übergang in eine berufliche Ausbildung oder Tätigkeit durch Mängel in der mathematischen Grundbildung gefährdet. Die alarmierenden Ergebnisse internationaler Vergleichsstudien werfen die Frage auf, welche charakteristischen Problembereiche und Hürden bereits in der Hauptschul-Eingangsstufe Schülern mit besonderen Schwierigkeiten beim Rechnenlernen die gelingende Teilnahme am Mathematikunterricht erschweren oder gar verunmöglichen und welche Konsequenzen daraus für den Mathematikunterricht an Grund- und Hauptschulen sowie für die Lehrerbildung zu ziehen sind.

„Mathematische Vorstellungsübungen“ – ein Unterrichtsinstrument im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II Im Rahmen meiner Tätigkeit als Lehrer ist das Unterrichtsinstrument mathematischer Vorstellungsübungen entstanden, um in die Köpfe der Schülerinnen und Schüler `schauen` zu können. Im Rahmen meines Promotionsprojekts untersuche ich nicht nur die Akzeptanz des Unterrichtsinstruments bei den Lernenden, sondern entwickle eine Begrifflichkeit zur Beschreibung von Vorstellungsübungen und zur Analyse von Vorstellungsprozessen. Ziel ist es, das Unterrichtsinstrument sowohl theoretisch zu fundieren als auch für den alltäglichen Unterricht nutzbar zu machen. Im Vortrag wird das erarbeitete Begriffsverständnis am Beispiel einer Beispielübung erläutert und ein Einblick in dessen Analyse gegeben.

Die Populationsbilanzgleichung beschreibt eine Partikel-Dichtefunktion f(t,r,x) in Raum (r) und Zeit (t) mit der zusätzlichen Eigenschaftskoordinate x. Die Differentialgleichung enthält als Quellterm einen Integraloperator, der f quadratisch enthält und die Koaleszenz der Partikel beschreibt. Da die Koordinate x die Dimension erhöht, sind für die numerische Berechnung effiziente Verfahren zwingend. Im Vortrag wird erläutert wie man die naive Integralaus-wertung (Komplexität n^2, wenn n die Zahl der Freiheitsgrade in x) auf die Komplexität O(n log n) verbessern kann.

Gerade in der Grundschule stellt die Heterogenität der Lernenden – insbesondere auch in jahrgangsgemischten Lerngruppen – eine besondere Herausforderung für die Gestaltung des Mathematikunterrichts dar, allerdings auch eine besondere Chance. Die Vielfalt kann als Motor für die Betonung eigenverantwortlichen Mathematiklernens wirken und zugleich dafür Sorge tragen, dass der mathematische Austausch der Kinder untereinander und mit den Lehrkräften an Bedeutung gewinnt. In dem Vortrag werden verschiedene Beispiele aus dem Sinus-Modul G 8 „Selbstgesteuertes und sozialinteraktives Mathematiklernen in heterogenen Klassen“ im Hinblick auf die Möglichkeiten der Förderung eigenständigen und gemeinsamen Mathematiklernens vorgestellt und erörtert.

The speaker will discuss the solvability of Dirichlet problems for Laplace`s equation when the boundary data is not smooth enough for the existence of a weak solution in usual Sobolev spaces. The generalized harmonic functions will be introduced. Their norms are defined using series expansions involving harmonic Steklov eigenfunctions. We will explain that the usual trace operator has a continuous extension to an isometric isomorphism of specific spaces. This provides a characterization of the generalized solutions of harmonic Dirichlet problems. Numerical simulations of a model problem will be given. This problem is related to the dewetting of thin films. The speaker will discuss the associated phenomenology.

The software Apprenti Géomètre is a dynamic interactive software appropriate for the learning of mathematics at elementary and junior highschools. We will present it and discuss its original features like the presence of certain families of polygons, a special treatment of the motions and the operations of cutting and uniting polygons.

In deformation quantization classical mechanics is considered as a limit of quantum mechanics as $/hbar$ tends to zero. A concrete realization of a deformation quantization is the asymptotic pseudodifferential operators and the methods of deformation quantization have given new insight to the index theory of elliptic pseudodifferential operators. In the talk I will give an introduction/overview of these ideas.

Variieren ist eine weit über die Mathematik hinaus gehende Grundform menschlichen Handelns. Während der Mathematiklehrer diese Technik alltäglich durch Abwandeln von Inhalten und Methoden zu Anpassungs-, Übungs- oder Differenzierungszwecken anwendet, bleibt es den Lernenden meist verschlossen. Im Rahmen einer neuen Aufgabenkultur sollen Schülerinnen und Schüler übliche Aufgaben abwandeln und die dabei entstehenden Varianten untersuchen. Der Vortrag will das didaktische Potential dieser Idee an konkreten Beispielen aus dem Unterricht aufzeigen. Angefangen vom etwas anderen Stundenabschluss bis hin zum mehrwöchigen Unterrichtsprojekt Variation einer Schneeflocke, in welchem die zentralen Begriffe und Methoden aus dem Bereich Folgen und Reihen durch Aufgabenvariation erschlossen werden.

In diesem Vortrag werde ich eine Übersicht zur Deformationsquantisierung verschiedener Bimodul-Strukturen in der Differentialgeometrie geben. Das erste Beispiel werden die Schnitte von Vektorbündeln sein, welche klassisch wie auch in der quantisierten Version Morita-Äquivalenzbimoduln sind. Das zweite Beispiel sind gefaserte Mannigfaltigkeiten und insbesondere Hauptfaserbündel, deren Quantisierung in physikalischen Theorien zu Eichfeldtheorien auf nichtkommutativen Raumzeiten Anwendungen finden.

We will discuss a piecewise linear analog of Nash-Kuiper theorem in dimension 2 and its relation to the first Arnols`s question: Is it possible to increase perimeter of a rectangle by folding it on a plane? This is joint work with D. Burago and S. Krat.

Das Beweisen ist für die mathematische Wissenschaft eine grundlegende Tätigkeit, welche für die Fortentwicklung der Mathematik notwendig ist. Gleichzeitig ist es für viele Lernende an Schulen und Hochschulen eine Aktivität, die scheinbar ihre ganz eigenen Gesetze hat und nur in einem mühsamen Prozess erlernt werden kann. In dem Vortrag soll auf verschiedene Facetten des Beweisens eingegangen werden, die ganz unterschiedliche Herausforderungen an die Lernenden stellen und die Komplexität des mathematischen Beweisens verdeutlichen.

Anhand von ausgewählten Fallbeispielen werden die Ergebnisse einer qualitativen Untersuchung vorgestellt. Insbesondere wird die Frage diskutiert, welche Gründe Lehrerinnen und Lehrer für bzw. gegen einen Einbezug von Realitätsbezügen in den Mathematikunterricht angeben, wie diese Begründungen mit den subjektiven Theorien der Lehrenden korrespondieren und welche Konsequenzen dies für deren Unterrichtsplanung hat. Hierdurch wird ein recht umfassendes Bild curricularer Vorstellungen von gymnasialen Mathematiklehrkräften im Hinblick auf „anwendungsnahe Curriculumselemente“ entworfen, die gerade im Hinblick auf aktuelle Kerncurricula und Bildungsstandards wieder in den mathematikdidaktischen Fokus gerückt sind.

We show that for any positive integer $m/ge 1$, $m$-relator quotients of the modular group $M = PSL(2,Z)=< a,b| a^2=b^3=1>$ generically satisfy a very strong Mostow-type ``isomorphism rigidity``. In particular, we prove if two such quotients are isomorphic then their Cayley graphs on the /emph{given} generating set $a,b$ are isometric. This allows us to compute the precise asymptotics of the number $I_m(n)$ of /emph{isomorphism types} of $m$-relator quotients of $M$ where all the defining relators are cyclically reduced words of length $n$ in $M$. We also prove that random quotients of $M$ are ``essentially algebraically incompressible``, that is, they do not admit a finite group presentation of length much shorter than the given one. This talk is based on joint work with Paul Schupp.

Im Vortrag werden zunächst verschiedene Internetportale für die Lehramtsausbildung vorgestellt. Der Schwerpunkt der Ausführungen liegt dann auf den Möglichkeiten des Einsatzes dieser Inhalte in der Ausbildung, insbesondere unter mediendidaktischen Aspekten. Dabei werden auch die Möglichkeiten einer aktiven Einbindung der Studierenden als Autoren/innen diskutiert.

Gitter sind diskrete Untergruppen des R^n. Im Zusammen- hang mit Gittern existieren einige (mutmaßlich schwierige) Berechnungs- probleme, wie z.B. das ``shortest vector problem`` (SVP) oder ``closest vector problem`` (CVP). Gitterreduktionsverfahren, etwa der berühmte LLL-Algorithmus, können das SVP näherungs- weise in Polynomialzeit lösen. Dies macht Gitterreduktion zu einem nützlichen Werkzeug in der Kryptanalyse. Im Vortrag soll die grundlegende Arbeitsweise des LLL- Algorithmus vorgestellt und das Auftreten von Gitterproblemen in der Kryptologie anhand einiger Beispiele erläutert werden.

We discuss the existence of generalized solutions of the flow of two immiscible, incompressible, viscous Newtonian and Non-Newtonian fluids like oil and water. In general the interface between both fluids will develop singularities due to coalescence or formation of drops. Therefore a suitable weak formulation of the problem is needed. If surface tension effects are neglected, existence of weak solutions globally in time can be shown, but little is known about the interface between both fluids. If surface tension is present, the energy estimates gives an a priori bound on the (d-1)-dimensional Hausdorff measure of the interface, but the existence of weak solutions is open. This might be due to possible oscillation and concentration effects of the interface related to instabilities of the interface as for example fingering, emulsification or just cancellation of area, when two parts of the interface meet. Nevertheless the existence of so-called varifold solutions, where the interface is modeled by a suitable measure, can be shown.

Das Gleichgewicht von Rezeption und Produktion ist für ein wirksames Lernen in allen Fächern unabdingbar. Nun werden die Lernenden aber gerade im Mathematikunterricht mit seiner perfektionierten Wissensvermittlung zu solch ungeheuren rezeptiven Anstrengungen verpflichtet, dass für produktives Forschen kaum mehr Raum und Gelegenheit bleibt. Durch Bündelung des vom Lehrplan vorgegebenen Stoffs in Form von Kernideen, durch daraus abgeleitete offene Aufträge, durch konsequente Durchsicht der Lernjournale und durch Wiedereinspielen von Autographen im Unterricht gelingt es, der singulären Produktivität das notwendige Gewicht zu verleihen und die Lernenden in fachbezogene Dialoge zu verwickeln. Das schafft nicht nur größere Befriedigung im Umgang mit Mathematik, sondern erhöht auch die Kompetenz des flexiblen und eigenständigen Einsatzes mathematischer Werkzeuge.

Jede CD dieser als Reihe konzipierten Software behandelt ein sog. substanzielles Aufgabenformat. Bei der gerade erschienenen ersten CD sind es die Zahlenmauern. Weithin bekannt und gebräuchlich, werden sie aber in ihren Möglichkeiten (ob mit oder ohne Computer) nicht immer ausgeschöpft. Der ZAHLENFORSCHER offeriert dazu vielfältige Aktivitäten: von differenzierten und didaktisch strukturierten Rechenübungen über offene Aufgaben bis hin zum Mathematiktreiben an Hand von elf „Forschungsaufträgen“ – unter expliziter Förderung und Forderung auch allgemeiner sowie fachübergreifender Lernziele. Bei der Entwicklung wurden konsequent Prinzipien verfolgt, die für HiQ-Software unerlässlich sind, tatsächlich aber nur selten realisiert werden: der Primat der Didaktik, eine partizipative Technikgestaltung sowie v. a. ein zyklisches Entwicklungsmodell. Im Vortrag wird das Programm vorgestellt und durch exemplarische Einblicke aus Praxiserprobungen illustriert.

Im Vortrag wird zunächst die wechselseitige Information für Vektorkanäle mit Gaußschem Rauschen hergeleitet. Diese sind insbesondere ein Modell für Systeme, die mehrere Sende- und Empfangsantennen haben (MIMO, multiple input multiple output). Die Maximierung der wechselseitigen Informationen über alle Eingabeverteilungen führt zum Begriff der Kapazität des Kanals. In der Praxis unterliegt die Eingabe Leistungsbeschränkungen, welche im Modell als Nebenbedingungen auftreten. Mit Hilfe von Richtungsableitungen wird die Kapazität unter Nebenbedingungen bestimmt, die sich mit allgemeinen p-Normen beschreiben lassen. Die klassische Lösung des ``water-filling`` ergibt sich hierbei als unstetiger Grenzfall. Schließlich wird bei unbekanntem Kanal die Übertragung als Zwei-Personen-Nullsummenspiel formuliert, die Natur spielt gegen den Sender von Informationen. Dieses hat ein Nash-Gleichgewicht, dessen Spielwert aus den vorhergehenden Überlegungen bestimmt werden kann.

Beginnend mit der Vorstellung des integrativen Grundkurskonzepts für den Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II, sollen im zweiten Teil unterrichtspraktische Bausteine zu verschiedenen Themen der Analytischen Geometrie und der Linearen Algebra präsentiert werden. Im letzten Teil des Vortrags soll der Evaluationsansatz und Ergebnisse der Akzeptanzstudie dargelegt werden, durch die das Konzept und deren Bausteine im letzten Schuljahr an verschiedenen Schulen evaluiert wurde.

Kontaktprobleme in der Elastizitätstheorie führen auf stark nichtlineare freie Randwertprobleme. Im Rahmen der linearen Theorie wird man durch Konvexitätsargumente auf die Untersuchung von Variationsungleichungen geführt. Diese Methoden sind auf allgemeine nichtlineare Probleme nicht übertragbar. Im Vortrag wird gezeigt, wie man mit neuen Ansätzen und unter Verwendung moderner Methoden der nichtglatten Analysis entsprechende Variationsprobleme behandeln kann. Insbesondere wird die zugehörige Euler-Lagrange Gleichung abgeleitet und für die Kontaktkräfte auf dem freien Rand erhält man Regularitätsaussagen. Ferner werden die analytischen Untersuchungen im Zusammenhang mit Fragen der Mechanik diskutiert.

Das Verständnis zellulärer Aggregationsprozesse bildet einen Schwerpunkt biologischer und medizinischer Forschung. Als wichtiges Kommunikationsinstrument zwischen Zellen wird dabei ein als Chemotaxis bezeichneter Mechanismus angesehen, bei dem eine von den Zellen ausgeschüttete chemische Substanz als Signalträger fungiert. Zur mathematischen Beschreibung dieses Vorgangs wurde in den vergangenen Jahren eine Vielzahl verschiedener Systeme von Diffusionsgleichungen vorgeschlagen, deren ``Herleitungen`` sich sämtlich auf stark vereinfachende Annahmen stützen. Der Vortrag soll einige solche in jüngerer Zeit diskutierten Modelle vorstellen und auf Grundlage analytischer Resultate bewerten. Vorrangiges Augenmerk soll dabei auf die Frage gerichtet werden, inwieweit das jeweilige Modell tatsächlich das Phänomen der Zellaggregation qualitativ korrekt beschreibt. Insbesondere sollen Effekte verschiedenartig nichtlinearer Diffusion erörtert werden.

Wir betrachten mathematische Modelle, die im Zusammenhang mit der Verbrennung poröser Medien stehen. Die Instabilitäten, die in Experimenten beobachtet werden können, spiegeln sich in der mathematischen Analyse wider: die auftretenden partiellen Differenzialgleichungen sind instabil oder sogar schlechtgestellt. Der Fokus des Vortrags ist ein instabiles freies Randwertproblem vom Typ des Hindernisproblems. Im Unterschied zum stabilen Hindernisproblem stellt sich hier jedoch heraus, dass die zweiten Ableitungen der Lösungen - im Falle des stabilen Hindernisproblems stets beschränkt - im Allgemeinen unbeschränkt sind. Wir diskutieren Singularitäten des freien Randes.

Die Navier-Stokes-Gleichungen, ein nichtlineares partielles Differentialgleichungssystem, sind ein Modell zur Beschreibung der Strömung viskoser, inkompressibler Fluide. In der mathematischen Analysis der instationären Gleichungen ist es ein berühmtes offenes Problem, ob glatte Lösungen für alle Zeiten konstruiert werden können. Ebenso ist die Verifikation der klassischen bzw. einer lokalisierten Energiegleichung, die i.Allg. nur formal hergeleitet werden kann, ein ungelöstes Problem. Besondere Schwierigkeiten treten in unbeschränkten Gebieten auf, da entscheidende Kompaktheitsargumente nicht mehr zur Verfügung stehen. Im Vortrag soll ein neuer Zugang zur Konstruktion sog. geeigneter schwacher Lösungen in beliebigen unbeschränkten Gebieten aufgezeigt werden, die der lokalisierten Energieungleichung genügen. Konsequenzen aus der Gültigkeit der lokalisierten Energieungleichung sind Aussagen zur partiellen Regularität und der berühmte Struktursatz von J. Leray über die Größe der Menge der ggf. auftretenden singulären Zeitpunkte. Der Vortrag beruht auf einer gemeinsam mit H. Kozono (Sendai, Japan) und H. Sohr (Paderborn) verfassten Arbeit, die 2005 in Acta Mathematica erschienen ist.

Beim Wasserwellenproblem handelt es sich um die dreidimensionale wirbelfreie Strömung einer idealen Flüssigkeit, die nach unten durch eine impermeable horizontale Ebene und nach oben durch eine freie Oberfläche beschränkt ist, wobei die Bewegung der freien Oberfläche durch Schwerkraft und Oberflächenspannung bestimmt wird. Dieses außergewöhnliche Problem ist mittlerweile zum Paradigma für die meisten modernen Methoden in der nichtlinearen Funktionalanalysis geworden. In diesem Vortrag möchte ich den gegenwärtigen Stand der Forschung über permanente Wasserwellen vorstellen, d.h. über Wellen, die sich mit konstanter Geschwindigkeit und ohne Formänderung bewegen. Ich möchte mich auf echt dreidimensionale Wellenbewegungen konzentrieren, bei denen die freie Oberfläche des Wassers immer ein zweidimensionales Muster aufweist, und ebenfalls auf Lösungen des kompletten hydrodynamischen Problemes (im Gegensatz zu Modellgleichungen). Unter diesen Wellenmustern befinden sich beispielsweise: (a) doppeltperiodische Wasserwellen; (b) Wellen, die ein pulsartiges oder Multi-Puls-Profil in einer horizontalen Richtung besitzen und periodisch in einer anderen horizontalen Richtung sind; (c) sogenannte voll lokalisierte solitäre Wellen, die ein pulsartiges Profil in jeder horizontalen Richtung besitzen. In diesem Vortrag werde ich die Existenzbeweise für die oben genannten Wasserwellen skizzieren. Der Schlüssel ist eine Formulierung des mathematischen Problems als unendlichdimensionales Hamiltonsches System mit unendlich vielen Freiheitsgraden und ein entsprechendes Variationsprinzip.

Wir betrachten die Evolution konvexer Flächen unter Krümmungsflüssen. Mit Hilfe von monotonen Größen zeigen wir, dass solche Flächen rund werden.

Gegenstand des Vortrages sind Mehrphasenströmungen in porösen Medien, also zum Beispiel die Beschreibung von Grundwasser im Erdboden, von Öl und Wasser bei der Ölförderung, oder von Wasser und Gas in Brennstoffzellen. Die Ableitung der mathematischen Modelle wird skizziert, insbesondere wird die wichtige Grösse des Kapillardruckes erklärt. Die mathematische Untersuchung der Gleichungen verlangt nach dem Einsatz von modernen Methoden der Analysis, die Schwierigkeiten entstehen durch die Degeneriertheit der Koeffizientenfunktionen und durch Randbedingungen vom Variationstyp. Für eine genauere Modellierung muss der Effekt der kapillaren Hysterese eingeschlossen werden. Wir diskutieren diesen Effekt und das resultierende System, in dem anstelle von Gleichungen Differentialinklusionen auftreten. Eine Homogenisierung des Systems führt auf effektive Gleichungen, die mit einer neuen zusätzlichen Variablen einen Gedächtnisterm beinhalten.

Im Rahmen der Ergebnisse der rezenten Schulleistungsstudien (TIMSS, IGLU, PISA) werden mögliche Wege zur Verbesserung der Schulqualität diskutiert, es wird aber auch auf „Sackgassen“ hingewiesen. Darüber hinaus wird auf die Veränderung von Steuerungsmechanismen des Bildungswesens eingegangen und deren Möglichkeiten und Grenzen aufgezeigt.

The present talk is based on my Ph.D. dissertation and consists of two more or less independent topics. First we investigate questions concerning Gauss measures on special noncommutative Lie groups, such as on the Heisenberg group and on the affine group. Then we deal with proving (central) limit theorems for infinitesimal triangular arrays of random elements with values in (special) locally compact Abelian topological groups. In case of the 3-dimensional Heisenberg group an explicit formula is derived for the Fourier transform of a Gauss measure at the Schrödinger representations. Using this explicit formula, we give necessary and sufficient conditions for the convolution of two Gauss measures to be a Gauss measure. It turns out that the convolution of Gauss measures on the Heisenberg group is almost never a Gauss measure. In case of the affine group F it is shown that a Gauss measure on F can be embedded only in a uniquely determined Gauss semigroup. Moreover, we give a complete description of supports of Gauss measures on the affine group using Siebert`s support formula. Concerning limit theorems on locally compact Abelian topological groups first we recall the most important notions and known results in the theory. As new results we prove necessary and sufficient conditions for convergence of the row sums of symmetric arrays, where the limit measure can also be a nondegenerate normalized Haar measure on a compact subgroup. Then we investigate special Abelian topological groups: the group of p-adic integers and the p-adic solenoid.

In seinem ersten Buch “Disquisitiones Arithmeticae” (1801), hat C.F. Gauß geschrieben: “Das Problem des Unterscheidens von Primzahlen und zusammengesetzten Zahlen, und das Zerlegen von großen Zahlen in ihre Primfaktoren, ist eine der wichtigsten und interessantesten Aufgaben der Arithmetik.” Jetzt k¨onnen wir dazu sagen, dass die zwei Probleme eine zentrale Stelle nicht nur in der algorithmischen Zahlentheorie, sondern auch in der Kryptographie einnehmen. In dem Vortrag wird das erste Problem besprochen: Wie kann man schnell erkennen, ob eine gegebene nat¨urliche Zahl eine Primzahl ist? Es gibt einen sehr schnellen Miller–Rabin Primzahlentest, der es ermöglicht die Zahlen mit 10 000 Ziffern zu untersuchen. Dieser Test ist probabilistisch, deshalb gibt er nicht immer richtige Antworten. 2002 haben die drei indischen Mathematiker Manindra Agrawal, Neeraj Kayal und Nitin Saxena einen Artikel “PRIMES is in P” veröffentlicht. Der AKS–Test ist deterministisch und polynomial. Das heißt, dass er immer richtige Antworten gibt und in einer polynomialen Zeit läuft. In dem Vortrag wird eine einfache Erklärung des AKS–Tests gegeben und es werden neue Hypothesen besprochen.

Wie planen Lehrerinnen und Lehrer ihren Mathematikunterricht, wie setzen sie ihre Planungen um und was für Ergebnisse des Unterrichts lassen sich bei ihren Schülerinnen und Schülern feststellen? In dem Vortrag soll einerseits der methodische Ansatz für das Angehen dieser Frage, andererseits Ergebnisse der qualitativen Studie vorgestellt werden, in der der reale Stochastikunterricht ganzheitlich aus der Perspektive des Curriculums untersucht wird.

Die Arbeit mit einer Grafiksoftware bzw. den Grafikfunktionen eines CAS kann dazu beitragen, das Stoffgebiet Analytische Geometrie für Schülerinnen und Schüler anschaulicher und attraktiver zu gestalten. Dabei lassen sich relativ offene Aufgaben bzw. Projektthemen bearbeiten, die für Schüler interessant sind und zugleich für alle Schüler die Möglichkeit eröffnen, zu Ergebnissen zu gelangen, die sie als Erfolge empfinden. Für besonders interessierte und leistungsstarke Schüler bestehen nahezu unbegrenzte Möglichkeiten, ihre Arbeiten zu verfeinern und zu erweitern. Aus der Arbeit an computergrafischen Darstellungen heraus erwächst bei vielen Schülern der Wunsch, „neue“ mathematische Objekte und geeignete Beschreibungen, z. B. Parameterdarstellungen von Kurven, kennen zu lernen. Im Vortrag werden Herangehensweisen vorgestellt und Erfahrungen geschildert, die bei der Einbeziehung von Elementen der 3D-Computergrafik in den Unterricht gesammelt wurden.

Relaxierungen spielen eine entscheidende Rolle, wenn ein diskretes Optimierungsproblem (etwa mit Branch-and-Bound) gelöst werden soll. Neben der bekannten LP-Relaxierung sind in den letzten Jahren vermehrt so genannte semidefinite Relaxierungen betrachtet worden. Das urspr¨ungliche Problem wird dabei in einen h¨oherdimensionalen Raum von Matrixvariablen transformiert, wobei die Ganzzahligkeitsbedingungen mittels spezieller Matrixbedingungen relaxiert werden: es wird verlangt, dass die Matrixvariable im Kegel der positiv semidefiniten Matrizen enthalten sei. Für solche semidefinite Programme gibt es sehr effiziente Algorithmen. Die Lösung erfordert zwar einen etwas höheren Rechenaufwand als die Berechnung der LP-Relaxierung, qualitativ ist die semidefinite Relaxierung der LP-Relaxierung aber oft deutlich ¨uberlegen. Noch bessere Schranken (in manchen F¨ allen sogar die Optimall¨osung) lassen sich berechnen, indem man statt des Kegels der semidefiniten Matrizen andere konvexe Kegel, zum Beispiel den Kegel der so genannten copositiven Matrizen betrachtet. Im Vortrag sollen Vor- und Nachteile dieser Relaxierungstechniken diskutiert werden. Insbesondere wird ein neues Approximationsschema vorgestellt, mit Hilfe dessen copositive Programme bis auf eine vorgegebene Genauigkeit gelöst werden können. Der Ansatz beruht auf polyedrischen Approximationen des copositiven Kegels sowohl von innen als auch von außen. Ersetzt man den copositiven Kegel durch diese approximierenden Kegel, so erhält man ein lineares Problem, das effizient gelöst werden kann. Durch geschickte Verfeinerung der Approximation erzeugt man eine Folge von LPs, die das vorgegebene copositive Programm beliebig genau approximieren. Dabei kann die Verfeinerung so gesteuert werden, dass nur in dem für die Optimierung relevanten Bereich verfeinert wird und der numerische Aufwand begrenzt bleibt. Die Resultate zur Copositiven Optimierung sind in Zusammenarbeit mit Stefan Bundfuss entstanden.

In der Didaktischen Rekonstruktion werden Lernerperspektiven und fachlich geklärte Aussagen so aufeinander bezogen, dass lernförderliche Lernangebote gemacht werden können. Die Perspektiven der Lernenden werden entsprechend nicht nur als Voraussetzung, sondern als notwendiges Mittel zum Lernen und Lehren angesehen. Das Modell wurde in der Naturwissenschaftsdidaktik entwickelt und inzwischen auf mehrere weitere Schulfächer angewendet (u. a. Mathematik, Sprachen, Geschichte).

(Joint work with P. Weil and A. Roig) The classical Whitehead algorithm to check whether two words in a free group belong to the same orbit has two separated steps, the first of which being typically polinomial on the length of the words, and exponential on the ambient rank. However, some recent heuristics, partial results and computational experiments indicate that, in practice, the algorithm is faster than this. We present a modification of this classical algorithm which is polynomial on both the length and the rank ambient. The new algorithm is surprisingly simple, making use of a classical argument about Whitehead automorphisms and Whitehead graphs, and the classical Max-Flow Min-Cut algorithm for graphs. The mentioned result is, in fact, extended from pairs of words to pairs of finitely generated subgroups, following an idea of S. Gersten. As an application, we obtain the first polynomial algorithm checking wether two given subgroups of a free group are one a free factor of the other.

An der Universität Klagenfurt wurde 2003 ein Doktorand(inn)enkolleg eingerichtet, das Doktoratsstudien insbesondere von im Beruf stehenden Mathematiklehrer(inne)n im Fach Didaktik der Mathematik fördern und unterstützen soll. Im Rahmen dieses Kollegs wird aus verschiedenen Blickrichtungen zum Thema „Mathematische Bildung“ gearbeitet. Im ersten Teil des Vortrags werden kurz Intentionen, Arbeitsgebiete und Organisationsform des Kollegs dargelegt. Im zweiten Teil wird auf die Arbeit in einem der vier Arbeitsgebiete (Mathematische Allgemeinbildung unter dem Fokus Kommunikationsfähigkeit mit Expert(inn)en und der Allgemeinheit) näher eingegangen sowie über einige inhaltliche wie auch allgemeine Erfahrungen berichtet.

Im Rahmen einer empirischen Studie wurde das Verständnis von Kindern im Zeitraum von der Einschulung bis zum Ende des 1. Schuljahres bezüglich der Begriffe „die Hälfte“ und „das Doppelte“ analysiert. Obwohl die Verwendung dieser Begriffe den Kindern sowohl im Mathematikunterricht als auch in außerschulischen Kontexten geläufig war, ließen sich deutliche Unterschiede in ihrem individuellen Begriffsverständnis aufzeigen. In diesem Vortrag werden unterschiedliche in der Studie vorgefundene Typen des kindlichen Verständnisses des Begriffs „die Hälfe“ sowie Tendenzen in der Begriffsentwicklung vorgestellt. Dabei sollen ebenfalls Einflussfaktoren diskutiert werden, welche Auswirkungen auf die Bearbeitungen der Kinder zeigen.