Der Einsatz neuer Technologien beim Lehren und Lernen von Mathematik gewinnt in den letzten Jahren erheblich an Bedeutung. Dies zeigt sich in Forschung, Lehrplan- und Technologieentwicklung. Das jüngste Ergebnis dieser Prozesse ist die Entwicklung so genannter Multirepräsentationssysteme. Das sind Rechner, die eine Verknüpfung von mehr als zwei Darstellungsmodi (graphisch, symbolisch, numerisch) erlauben. Ob die damit verbundenen Hoffnungen zur Unterstützung von Lernprozessen sich erfüllen, wird sich an der theoretischen Analyse und dem konkreten Einsatz in der Praxis zeigen, denn den Vorteilen stehen auch zu erwartende Schwierigkeiten entgegen, wie beispielsweise das gestiegene Anforderungsniveau für die Lernenden. Denn um das neue Werkzeug gewinnbringend für das Lernen zu nutzen, müssen die externalen Repräsentationen in innere Repräsentationen übersetzt, flexibel zwischen den Darstellungsmodi gewechselt und deren Adäquatheit für die jeweilige Fragestellung beurteilt werden. Eine kritische Analyse des Status Quo und einem sich daraus ergebenden Forschungssetting ist Thema des Vortrages.

In den letzten Jahren werden so genannte offene Aufgaben besonders beachtet, da sie beim Erwerb von Problemlöse- und Modellbildungskompetenzen eine große Bedeutung haben. Der Vortrag stellt die Ergebnisse einer qualitativen Studie mit verschiedenen offenen realitätsbezogenen Aufgaben vor. Schülerinnen und Schüler der Sekundarstufe I wurden bei der Bearbeitung dieser Aufgaben beobachtet. Die Lösungsprozesse wurden mit Hilfe einer Videokamera aufgezeichnet, transkribiert und ausgewertet. Im Vortrag wird der Frage nachgegangen, wie solche Problemlöse- und Modellbildungsprozesse bei Schülerinnen und Schülern der Sekundarstufe I tatsächlich ablaufen und welche typischen Resultate beobachtet wurden.

In this lecture, an overview of the state of mathematics gifted education in the U.S will be provided. The role of sociopolitical, cultural and curricular forces on how mathematics content is delivered for gifted and talented students will be addressed. The lecture will also address the tension between voices emphasizing equity over excellence and vice versa, as well as issues and biases related to the identification of mathematically talented students among minorities and second language learners. Finally, effective and ineffective intra and extra-curricular programming and curricular techniques will be discussed.

Die Digitalisierung unserer Umwelt schreitet immer weiter fort, wobei digitale Planungs-, Produktions- und Organisationsprozesse vernetzt ablaufen. Für das Verständnis dieser Abläufe ist u.a. geometrisches und funktionales Denken in Modulen, Baugruppen oder Organisationseinheiten erforderlich. Bei der Produktplanung am Computer werden vom Planenden geometrische Operationen verlangt, die gleichzeitig in ihren Konsequenzen auf das Endprodukt im dreidimensionalen Raum bewertet werden müssen. Der Vortrag behandelt diese Wechselwirkungen zwischen digitalen Materialien und deren nicht-digitalen Realisationen im dreidimensionalen Raum bezogen auf ma-thematische Kompetenzen beim Einsatz von computergestützten Werkzeugen im Ma-thematikunterricht.

Nicht erst seit den jüngsten internationalen Leistungsvergleichsstudien ist bekannt, dass Schulerfolg und Sozialschicht sich wechselseitig bedingen. Hingegen steckt die Erforschung der Effekte und Wirkungsweisen sozialer Benachteiligung/Bevorzugung im Alltag eines fachlich organisierten Unterrichts noch in den Kinderschuhen: Welche sind die strukturellen Merkmale des Mathematikunterrichts, die eine Ungleichverteilung von Lernmöglichkeiten bewirken, und wie zeigen sich diese im Unterrichtsprozess? Zu diesem Fragenkomplex werden im Vortrag Forschungsergebnisse präsentiert. Anschließend wird diskutiert, welche Folgerungen für die sich eröffnenden oder schließenden Handlungsspielräume von Lehrerinnen und Lehrern im Mathematikunterricht daraus gezogen werden können.

Die länderübergreifenden Bildungsstandards Mathematik sind seit dem Schuljahr 2005/2006 verpflichtende Grundlage des Fachunterrichts Mathematik in der Grundschule, deren Erreichung regelmäßig durch das IQB erhoben wird. Darüber hinaus unterstützt das IQB die Länder bei der Implementation der Bildungsstandards. Im Vortrag wird einerseits über den Prozess der Testaufgabengenerierung sowie über einige ausgewählte Ergebnisse aus der Pilotierung und Normierung berichtet; andererseits wird gezeigt, mit welchen Maßnahmen die Implementation der Bildungsstandards Mathematik unterstützt werden.

We consider linear systems arising from the linear stability analysis of solu- tions of the Navier-Stokes equations. Such stability analysis leads to the solution of an eigenvalue problem, in particular, to the determination of eigenvalues close to the imaginary axis. Shift-and-invert type methods are often used for the so- lution of the eigenvalue problem, leading (on the continuous level) to systems of the form: Given a mean velocity field U, a forcing term f , a scalar  > 0 and a viscosity coefficient , find a velocity-pressure pair u, p which solves −
u − u + (U · ∇)u + (u · ∇)U + ∇p = f in divu = 0 in u = 0 on @ Due to indefiniteness of the submatrix corresponding to the velocities, this sys- tem poses a serious challenge for iterative solution methods. In this talk we discuss the extension of the augmented Lagrangian-based block triangular pre- conditioner to this class of problems. We prove eigenvalue estimates for the velocity submatrix and deduce several representations of the Schur complement operator which are relevant to numerical properties of the augmented system. Numerical experiments on several model problems demonstrate the effectiveness and robustness of the preconditioner over a wide range of problem parameters. This is part of a joint research with M.Benzi from Emory.

Wavelets sind in natürlicher Weise auf der gesamten reellen Achse definiert. Auf einem endlichen Intervall benötigt man zusätzliche Randfunktionen und modifizierte Algorithmen.

In diesem Vortrag werde ich verschiedene Ansätze für dieses Problem erläutern, und insbesondere unerwartete neue Phänomene diskutieren, die im Fall von Multiwavelets auftreten.

Es werden Varianten vorgestellt, wie man das nichtkonforme Elementepaar von Rannacher-Turek auf den Fall höherer Ordnung verallgemeinern kann.

Die Basisfunktionen werden so konstruiert, dass sie einer modifizierten Kompatibilitätsbedingung genügen. Dadurch brauchen sie nur einmal auf dem Referenzelement berechnet zu werden. Für den 2D-Fall wird die Frage untersucht, welche Elemente auch für anisotrope Gitter geeignet sind.

Die Dimension des diskreten Gleichungssystems kann wesentlich durch Verwendung quasi-divergenzfreier Basisfunktionen reduziert werden. Die Unbekannten des reduzierten Gleichungssystems sind eine Druckkonstante pro Element und eine vektorwertige Geschwindigkeitsfunktion pro Elementseite. Dadurch bietet sich der Einsach eines Pressure-Schur-Complement Lösers an.

Eine moderne Stabilisierungstechnik istdie Continuous Interior Penalty (CIP) Methode, die für konvektionsdominante Probleme von Burman und Hansbo vorgeschlagen und analysiert wurde.

Numerische Experimente zeigen, dass ein schwaches Aufprägen Dirichlet`scher Randbedingungen im Sinne von Nitsche zu wesentlich besseren diskreten Lösungen führt als die übliche Vorgehensweise, bei der die Funktionswerte in Randknoten fest vorgegeben werden. Es wird eine Analysis vorgestellt, die dieses Phänomen erklärt.

Ein Preis für die guten Eigenschaften der CIP Methode ist die höhere Anzahl an Matrixeinträgen verglichen mit üblichen Diskretisierungen. Für Finite Elemente höherer Ordnung wird die Verwendung modifizierter Basisfunktionen vorgeschlagen, bei der dieser Mehraufwand an zusätzlichen Matrixeinträgen wesentlich reduziert wird.

The convective transport, both pure and combined with diffusion and reaction, can be observed in a wide range of physical and industrial applications, such as, for example, heat and mass transfer, crystal growth or biomechanics. The numerical approximation of this class of problem can present a substantial difficulty due to regions of high gradients (steep fronts) of the solution, where generation of spurious oscillation or smearing should be precluded. This work is devoted to the developement of an efficient numerical technique to deal with pure linear convection and convection-dominated problems in the framework of convection-diffusion-reaction systems.

The particle transport method to be presented in the talk is based on using meshless numerical particleswhich carry out the solution along the characteristics defining the convective transport. The resolution of steep fronts of the solution is controlled by a special spacial adaptivity procedure. The semi-Lagrangian particle transport method uses an Eulerian fixed grid to represent the solution. In the case of convection-diffusion-reaction problems the methos is compined with diffusion and reaction solvers within an operator splitting approach. To transfer the solution from the particle set onto the grid a fast monotone projection technique is designed.

The performance of the proposed computational approach has been assessed in diverse tests and benchmark problems, such as wave transport, rigid-body rotation, mixing of hot and cold fronts, layered reaction. The numerical results confirm that the method has a spacial accuracy of the second order and for pure linear convection problems the method demonstrate optimal linear complexity. The method works on stuctured and unstructured meshes, demonstrating the high-resolution property in the regions of steep fronts of the solution. Moreover, the paritcle transport method can be successfully used for the numerical simulation of the real-life problems in, for example, chemical The particle transport method for convection-dominated problems.

Fluss- und Routingprobleme gehören zu den klassischen Fragestellungen der diskreten Mathematik. Dennoch sind in praktischen Anwendungen die bekannten Algorithmen für diese Probleme häufig nur sehr eingeschränkt anwendbar. Ein Grund hierfür ist, dass die meisten bekannten Fluss- und Routingalgorithmen statische Modelle betrachten, also Modelle, in denen Zeitabhängigkeit nicht oder nur unzureichend abgebildet wird. In diesem Vortrag führen wir dynamische, also zeitabhängige, Fluss- und Routingmodelle ein. Motiviert wird die Definition dieser Modelle durch verschiedene praktische Anwendungen, z.B. in der Verkehrsplanung. Im Gegensatz zu den meisten klassischen Fragestellungen auf diesem Gebiet sind die hier auftretenden Optimierungsprobleme allerdings nicht mehr optimal in Polynomialzeit lösbar. Dennoch ist es möglich, Approximationsresultate zu erzielen, von denen wir einige vorstellen werden. Eine seit langem bekannte Methode zur Modellierung dynamischer Flüsse ist das zeitexpandierte Netzwerk. Während man mit dieser Methode sehr einfach dynamische Fragestellungen auf statische zurückführen kann, hat dieser Ansatz den Nachteil, dass er extrem große Netzwerke erzeugt und daher für praktische Anwendungen in der Regel nicht verwendbar ist. Aufbauend auf diesem zeitexpandierten Netzwerk stellen wir eine implizite Zeitexpansion vor, die eine sehr kompakte Darstellung erlaubt und damit den Entwurf schneller Routingalgorithmen möglich macht. In einem Industrieprojekt zum Routing von AGVs (Automated Guided Vehicles) konnte die praktische Effizienz der so entwickelten Verfahren nachgewiesen werden.

Risikomanagement gewinnt in unserer Gesellschaft zusehends an Bedeutung. So erweist sich die Etablierung ausgefeilter Risikokontrollsysteme als unabdingbarer Erfolgsfaktor für die Steuerung von Wirtschafts- und Industrieunternehmen. Aber auch bei der privaten Vorsorge- und Finanzplanung wird der bewusste und systematische Umgang mit Risiken immer wichtiger. Viele Risiken lassen sich mit Hilfsmitteln der Stochastik modellieren und damit transparenter, also beherrschbarer, machen. Mit ihrem Vortrag möchte die Referentin anregen, persönliche und unternehmerische Risiken auch im Stochastikunterricht zu thematisieren. Dies könnte für die gewünschte stärkere Anwendungsorientierung des Mathematikunterrichts ein interessanter und zukunftsträchtiger Baustein in einem für die Schule relativ neuen Bereich sein. Als Diskussionsgrundlage werden diverse Beispiele aus dem Bereich der stochastischen Risikomodellierung erläutert, die auch in der Schule behandelt werden könnten.

Diskrete Optimierungsprobleme sind im Allgemeinen nicht polynomial lösbar und werden meist mit Branch-and-Bound oder ähnlichen Algorithmen gelöst. Für diese Verfahren ist es essentiell, gute Schranken zur Verfügung zu haben. Neben den klassischen LP-Relaxierungen haben sich semidefinite Relaxierungen als sehr erfolgreich erwiesen. Dabei werden lineare Probleme über dem Kegel der semidefiniten Matrizen gelöst. Im Vortrag sollen die Vor- und Nachteile dieses Ansatzes diskutiert und mögliche alternative Matrixkegel vorgestellt werden. Als besonders vielversprechend erweist sich dabei der Kegel der so genannten copositiven Matrizen. Dieser Ansatz hat zudem den Vorteil, dass er auf ganzzahlige Probleme mit Polynomfunktionen erweitern lässt.

Telekommunikationsnetze sind in Schichten (engl. layer) organisiert. Die Schichten basieren auf unterschiedlichen Technologien und sind jeweils für spezifische Aufgaben zuständig, wie beispielsweise Routingentscheidungungen, Qualititätskontrolle oder Transport. Die Planung eines Zwei-Layer-Netzes umfasst u. a. die Planung einer Topologie für die IP(Internet)-Netzschicht und die optische Netzschicht, die Dimensionierung von Hardware (Router, Multiplexer etc.) und Linkkapazitäten, sowie die Bestimmung eines Routings für gegebene Kommunikationsbedarfe. Auch Ausfallsicherheitsanforderungen müssen in der Planung berücksichtigt werden, um im Falle eines durchtrennten Kabels oder eines Hardware-Ausfalls den betroffenen Verkehr umrouten zu können. Mangels besserer Planungsmethoden wurden bislang meistens die Routing- und die Transportschicht einzeln geplant, obwohl es starke Abhängigkeiten zwischen ihnen gibt. In diesem Vortrag werden wir eine ganzzahlige lineare Formulierung für eine integrierte Planung beider Schichten vorstellen. Da dieses Modell mit konventionellen Ansätzen sehr schwer zu lösen ist, erarbeiten wir mehrere Klassen von gültigen Ungleichungen. Eine große Rolle spielt in diesem Zusammenhang die Mixed-Integer Rounding (MIR) Methode. Insbesonder werden bewährte Schnittebenen aus der Single-Layer-Netzplanung an eine integrierte Multi-Layer-Planung angepasst und erweitert. Durch den Einsatz dieser Schnittebenen innerhalb eines Branch-and-Cut-Algorithmus konnten die Lösungszeiten für einige praktisch relevante Netzplanungsprobleme von einem Tag auf wenige Stunden reduziert werden. Dieser Vortrag basiert sich auf gemeinsame Arbeiten mit Sebastian Orlowski und Christian Raack im Auftrag von Nokia Siemens Networks.

Die Untersuchung von Grundvorstellungen gehört zu einem langfristigen Forschungsprogramm an der mathematischen Fakultät der Universität Wien. Dieses wird am Beispiel des bestimmten Integrals erläutert. Im Vordergrund steht dabei die Frage: Welche Grundvorstellungen zum bestimmten Integral sind so wichtig, dass man sie als unverzichtbar für (mathematische) Allgemeinbildung ansehen kann? Es wird eine Liste von solchen Grundvorstellungen angegeben, über eine dazugehörige empirische Untersuchung berichtet und ein Lehrgang skizziert, mit dem man diese Grundvorstellungen entwickeln kann. Dabei eröffnen sich diskussionswürdige Fragen zur Ausrichtung zukünftigen Mathematikunterrichts.

We will introduce a multi-resolution approximation (MRA) approach to the study of smooth function extensions with application to image inpainting. Solution of the Dirichlet problem relative to some “Sturm-Liouville” differential operator is used as the “ground level” of the MRA, and details in terms of “anisotropic” differential boundary data are filled in, according to the desirable number of higher-resolution levels. An error formula, in terms of the integral diffusion operators with the Green’s functions of the “anisotropic” differential operators as diffusion kernels, is formulated and applied to derive the order of approximations.

Stichworte : Inpainting, Anisotropie in der Bildverarbeitung,Wavelet-Shrinkage, Forward-backward Algorithmus.

Inpainting ist ein spezielles Interpolationsproblem in der Bildverarbeitung. Ziel ist es, unbekannte Bildregionen in einem (möglicherweise verrauschten) Bild wiederherzustellen. Für unseren neuen Inpainting Algorithmus kombinieren wir Ideen der anisotropen Regularisierung und Diffusion mit Haar-Wavelet Shrinkage. Es handelt sich hierbei um einen iterativen Algorithmus, bei dem in jeder Iteration zunächst ein Entrauschungsschritt durchgeführt wird, gefolgt von einem Korrekturschritt, in dem die Grauwerte im bekannten Teil des Bildes wieder zurückgesetzt werden. Die anisotropen Methoden, die im Entrauschungsschritt benutzt werden, erlauben es Kanten und Objekte im Bild besser wiederherzustellen. Wie in [1] kann der Algorithmus als ein ”Forward-backward splitting” Algorithmus zur Minimierung eines bestimmten Funktionals interpretiert werden. Wir zeigen die Konvergenz unseres Algorithmus, insbesondere die Existenz einer Minimalstelle des zugehörigen Funktionals. Dies ist eine gemeinsame Arbeit mit R. H. Chan (The Chinese University of Hong Kong) and G. Steidl (Universität Mannheim).

[1] J.-F. Cai, R. H. Chan, and Z. Shen. A framelet-based image inpainting algorithm. Applied and Computational Harmonic Analysis, to appear.

Ein klassischer Ansatz zur Lösung nichtlinearer Optimierungsprobleme über binären Variablen ist die Linearisierung. Dazu werden zunächst neue Variablen eingeführt, die die nichtlinearen Terme modellieren; diese werden dann durch geeignete lineare Ungleichungen an die ursprünglichen Variablen gekoppelt. So entsteht ein lineares binäres Optimierungsproblem. Um dieses praktisch erfolgreich lösen zu können, etwa mit Schnittebenenverfahren, benötigt man eine gute Beschreibung des von allen zulässigen Lösungen aufgespannten Polytops. Da die Linearisierung aber üblicherweise für jede Variable einzeln geschieht, ist die entstehende Relaxierung meist schwach. Alternative Ansätze erreichen eine bessere Relaxierung, jedoch um den Preis einer stark vergrößerten Zahl von Variablen, was wiederum zu praktisch unlösbaren Problemen führt. Im Vortrag wird ein neuer Ansatz vorgestellt, der beiden Schwächen Rechnung trägt. Das allgemeine Problem wird durch Einführung weniger zusätzlicher Variablen auf ein quadratisches reduziert. Sofern das ursprüngliche Problem nur einfache (z.B. boolesche) Nebenbedingungen enthält, kann das resultierende quadratische Problem als unbeschränkt aufgefasst werden und ist somit zum Problem äquivalent, in einem Graphen einen maximalen Schnitt zu finden. Letzteres ist polyedrisch intensiv untersucht worden; alle Ergebnisse übertragen sich mithilfe der vorgestellten Reduktion automatisch auf das allgemeine Problem. Im Allgemeinen liefert die obige Reduktionsmethode allerdings ein beschränktes quadratisches Problem. Solche Probleme sind praktisch bereits sehr schwer zu lösen und wenig untersucht. Im zweiten Teil des Vortrags soll anhand eines Beispiels diskutiert werden, welche Effekte beim Übergang von einer linearen zu einer quadratischen Zielfunktion auftreten, und welche Lösungsansätze erfolgreich sein können. Zum Abschluss sollen außerdem einige Anwendungen der beschränkten quadratischen binären Optimierung vorgestellt werden, u.a. bei der Synthese digitaler Signale und bei der Steuerung von Motoren.

Algorithmen, die zum Finden der Lösung zufällige Ereignisse nutzen, sind seit über dreißig Jahren ein wichtiger Bestandteil der diskreten Algorithmik. Für viele Probleme sind solche randomisierten Algorithmen die derzeit beste bekannte Lösungsmethode. Zusätzlich überzeugen sie durch ihre strukturelle Einfachheit. Häufig genügt es sogar, alle Einzelentscheidungen stochastisch unabhängig zu treffen. Neuere Ergebnisse allerdings deuten darauf hin, dass ein wohldosierter Einsatz von Zufall oft zu bevorzugen ist. In meinem Vortrag möchte ich dieses anhand von zwei Beispielen aus dem Broadcasting in Netzwerken und dem randomisierten Runden erläutern.

Diagnostik ist in der aktuellen Diskussion offenbar die Komponente des professionellen Wissens und Könnens von Lehrkräften mit dem höchsten Stellenwert. Ins Augenmerk ist Diagnostik gerückt, weil sie gerade bei deutschen Lehrkräften nur gering entwickelt ist. Und so erklärt sich wohl auch die Entschiedenheit, mit der die diagnostische Kompetenz nun zu den Kernbereichen des Lehrerberufs gezählt wird. Sichere Diagnosen sind unverzichtbar, aber nicht immer wird das Folgende genügend bedacht: Diagnosen stehen im Dienst des Lernens, genauer: der Lernprozesse. Das macht die Bedeutung von Lernprozessdiagnostik aus. Dabei geht es darum, Aufgaben zu gestalten, die Diagnostizieren und Fördern wirkungsvoll verbinden. Der Vortrag – ein kleiner Beitrag zum Jahr der Mathematik 2008 – berichtet auch über Ergebnisse der Grundschulstudie „Metakognition beim mathematischen Denken“ innerhalb des Modellprojekts mit dem Titel „Mathematik Gut Unterrichten“, das die Deutsche Telekom Stiftung fördert.

Zwischen 1923 und 1926 legt Walther Lietzmann – der 1904 bei David Hilbert promovierte – seine „Methodik des mathematischen Unterrichts“ in drei Bänden vor. In ihr entwickelt er eine Mathematikdidaktik als Theorie und Praxis des Mathematikunterrichts unter Berücksichtigung ihrer Bezugswissenschaften, neben der Mathematik etwa allgemeine Pädagogik und empirische Psychologie. Neben diesem Hauptwerk hat Lietzmann in zahllosen weiteren Veröffentlichungen viele konkrete, konstruktive Vorschläge für den Mathematikunterricht unterbreitet und versucht Mathematik auch darüber hinaus zu popularisieren. Der Blick in die Werke Lietzmanns lässt uns viel „Neues“ entdecken: - „Man soll viel mehr die Schüler zu eigenen Fragen kommen lassen. Der Lehrer soll zurück treten, soll von Schülern gestellte Fragen von Schülern beantworten lassen.“ - „Auch eine falsch gerechnete Aufgabe hat [...] für den Schüler Wert, wenn er findet, wo der Fehler steckt.“ - „Wir wollen unsere Schüler zur Selbständigkeit im geistigen Arbeiten erziehen, wollen sie bewusst methodisch arbeiten lehren.“ Im Vortrag wird – entlang einiger Schlagworte der heutigen Diskussionen über Bildungsstandards und eine notwendige neue Unterrichtskultur – ein Überblick über theoretische Standpunkte und praktische Vorschläge im Werk Lietzmanns geboten.

Die Untersuchung von ``dünnen`` Lösungen von linearen Gleichungssystemen, d.h. Lösungen mit möglichst wenigen Nicht-Nullelementen, ist in der letzten Zeit ein viel untersuchtes Thema in unterschiedlichen Forschungsbereichen, insbesondere in der Signalverarbeitung unter dem Stichwort ``Compressed Sensing``. Die grundsätzliche Thematik ist die Repräsentation eines Punktes (rechte Seite) durch ein Erzeugendensystem (Spalten der Matrix). Je dünner die Lösungen desto besser für die Anwendungen. Obwohl dieses kombinatorische Optimierungsproblem NP-schwer ist, können unter bestimmten Voraussetzungen optimale Lösungen mittels eines linearen Optimierungsproblems gefunden werden. Der Hauptschwerpunkt des Vortrags liegt in der Darstellung des Beitrages den diskrete Optimierungsmethoden für dieses Problem liefern können. Insbesondere soll der Zusammenhang mit der Analyse von unzulässigen linearen Ungleichungssystemen hergestellt und die hierfür bekannten polyedrischen Erkenntnisse bzw. Lösungsverfahren diskutiert werden. Am Ende möchte ich kurz auf die Anwendung dieser Methoden bei der adaptiven Verfeinerung von Finite-Elemente-Gittern zur Lösung von partiellen Differentialgleichungen eingehen.

Fußball ist eine der schönsten und unterhaltsamsten Freizeitbeschäftigungen. Das wissen wir und so soll es auch bleiben. Und doch ist gelegentlich reizvoll, dieses Spiel unter einem anderen Blickwinkel zu betrachten. In dem Vortrag wird der Frage nachgegangen, was denn Fußball mit Mathematik zu tun hat. Wie kommt die Mathematik in den Fußball? Diese Frage wird durch das Betrachten verschiedener Fußballthemen beantwortet: Wie viele verschiedene Ergebnisse gibt es bei einem Fußballspiel? Warum haben (manche) Tornetze Sechseckstruktur? Wie zeichnet der Platzwart am besten und schnellsten die Linien auf das Spielfeld? Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, einen Fußballschuh zu schnüren? Warum besteht ein Fußball (meist) aus Fünf- und aus Sechsecken? Was hat der neue Fußball der Europameisterschaft, der ``Europass``, mit einem Würfel zu tun? Und last, but not least: Wer wird Europameister? Und wie kann man das berechnen?

Die Untersuchung einfach 3-polytopaler Graphen nach Hamiltonkreisen ist aus historischen Gründen (Vierfarbenproblem, Taitsche Vermutung) mit Nachdruck betrieben worden. Von besonderem Interesse war hierbei die Frage, mit bis zu wievielen Punkte ein solcher Graph auf jeden Fall einen Hamiltonkreis enthält. Diese Frage konnte 1988 abschließend beantwortet werden.

Man kann die Fragestellung so abändern, dass man statt eines Kreises einen anderen aufspannenden Teilgraphen wählt, z. B. einen Weg, eine Vereinigung von Kreisen oder Wegen oder einen n-Weg (d. h. eine disjunkte Vereinigung von bis zu n Wegen.) Für jeden dieser Fälle werden Graphen konstruiert, die den entsprechenden aufspannenden Teilgraphen nicht enthalten.

Zur Konstruktion dieser Graphen sind bestimmte Teilgraphen (sog. 3- Stücke) erforderlich. Auch auf diese Teilgraphen und ihre Minimalität wird näher eingegangen.

Der letzte Abschnitt gilt der Fragestellung, mit bis zu wievielen Punkten ein einfach 3-polytopaler Graph nachgewiesenermaßen einen aufspannenden Weg enthält. Im Gegensatz zur analogen Untersuchung von Hamiltonkreisen wurde dieses Thema bislang wenig untersucht und ist weit von einer abschließenden Antwort entfernt.

Am Anfang stand eine Grundschullehrerin mit der Beobachtung, dass ihre Schülerinnen und Schüler Mathematik ausschließlich mit Auswendiglernen assoziierten. Daraufhin ließ sie die Kinder über mathematische Fragestellungen schreiben und auf der Grundlage der selbst verfassten Werke diskutieren. Der Einfluss auf das Lernen der Kinder erwies sich als positiv. Wie kam das eigentlich? Was lief da im Unterrichtsgeschehen ab? Diese Nachfragen waren die Geburtsstunde für umfassende Forschungstätigkeiten zu Schreibanlässen und unterrichtlichen Interaktionsprozessen. Im Vortrag möchte ich einen Querschnitt durch meine wissenschaftlichen Aktivitäten während meiner Promotionszeit vornehmen. Dabei werde ich Ergebnisse ganz unterschiedlicher Art vorstellen und auf interaktionstheoretische, mathematikdidaktische sowie unterrichtspraktische Aspekte eingehen.

In this talk we consider the problem of distributing points on the n-dimensional unit sphere so that they minimize some potential energy. We are in particular interested in ``universally optimal`` configurations, which minimize the energy for all completely monotonic potential functions, and in ``balanced configurations``, which are in equilibrium under all possible force laws. Both properties can be proven to be valid for high enough spherical designs.
Using massive computer experiments we obtain new (potential) universal optima and other beautiful spherical codes. Analyzing them reveals a lot of interesting structure and there is hope that it may lead to new insights. One of the very suprising discoveries is the existence of balanced configurations without symmetries.

Das Dilemma ist bekannt: Tests reduzieren Mathematik auf korrigierbare 0-1 Aufgaben, für die im Mittel wenige Minuten Bearbeitungszeit zur Verfügung stehen. Sie werden in der Regel unter Ausschluss von Hilfsmitteln gelöst, Diskussionen werden systematisch unterbunden, halbrichtige Lösungen werden nicht verbessert und von den Lernenden selten nochmals reflektiert. Im Rahmen des HarmoS-Konkordats wurden nun in der Schweiz Minimalstandards auf der Basis ebensolcher Tests definiert. Im Kolloquium werden das Schweizer Kompetenzmodell Mathematik, die Testanlage sowie die Minimalstandards vorgestellt. Insbesondere interessiert die Frage, inwiefern die vorliegenden Standards Lehrkräfte in ihrer Arbeit unterstützen und den Unterricht günstig beeinflussen können.

The mathematical modeling of milling processes generally leads to systems of nonautonomous delay differential equations (DDEs). Such models combine an or- dinary differential equation (ODE) describing the dynamical characteristics of the milling machine structure with an excitation containing the history of motion. For the sake of simplicity the dynamic properties of the workpiece are often approxi- mated by very rough models or they are completely neglected.
We have therefore developed a new milling model consisting of a standard, simple machine representation and a continuous, thermo - elastic workpiece description. In the first part of the presentation we discuss some modeling aspects emphasizing the coupling of machine, workpiece and process model. We briefly comment on the existence of a unique solution of the coupled equations. Finally, we present a straight forward numerical scheme to solve the system in time domain.

It is shown that operator-selfdecomposable measures, or more precisely their Urbanik decomposability semigroups, induce generalized Mehler semigroups of bounded linear operators. Moreover, those semigroups can be represented as random integrals of operator valued functions with respect to stochastic Lévy processes. Our Banach space setting is in the contrast with the Hilbert spaces on which so far and most often the generalized Mehler semigroups were studied. Furthermore, we give new proofs of the random integral representation.

Mit der `empirischen Wende` in der Bildungspolitik sind in den letzten Jahren neue Konzepte zur Qualitätssicherung im Schulbereich entstanden. Die Entwicklung einer sog. ``Outputsteuerung`` sowie externe Formen der Qualitätsanalyse (Schulinspektion) sind die wesentlichen Ergebnisse eines Veränderungsprozesses, der sich in fast allen Bundesländern und unabhängig von politischen Mehrheitsverhältnissen beobachten lässt. Die neuen Konzepte der externen Qualitätssicherung implizieren, dass Schulen die Ergebnisse der neuen Verfahren zur Qualitätsentwicklung nutzen. Die Daten aus flächendeckenden Lernstandserhebungen und Schulinspektionen sollen von Einzelschulen zur Schulentwicklung, insbesondere zur Unterrichtsentwicklung genutzt werden. Inwieweit diese Hoffnung begründet ist, wird im Vortrag diskutiert. Zunächst werden die Begründungslinien von interner und externer Evaluation im Schulbereich entwickelt und auf die Ideen der ``Organisationsentwicklung`` einerseits sowie der bürokratischen Steuerung andererseits zurückgeführt. Schließlich wird die Frage gestellt, ob sich beide Stränge gegenseitig ausschließen oder nicht in Konzepten, wie sie im angloamerikanischen Sprachraum als ``data driven school improvement`` diskutiert werden, zusammen geführt werden können.

Abhängigkeitsverhältnisse von Zufallsvariablen werden heutzutage häufig durch die zugehörige Copula beschrieben, die eine spezielle Verteilungsfunktion auf dem Quadrat I² = [0,1]² darstellt. Wir führen ein neues Skalarprodukt für Copulas ein, welches auf dem Sobolev-Skalarprodukt auf W^1,2(I²,R) basiert, und zeigen, wie sich geometrische Sachverhalte bezüglich dieses Skalarproduktes in stochastische Aussagen übersetzen. Dieser Zugang erlaubt u.A. die Konstruktion eines neuen Maßes der bijektiven Abhängigkeit zweier Zufallsvariablen. Der Vortrag beschreibt die ersten Ergebnisse einer Kooperation mit Pavel A. Stoimenov (Fakultät für Statistik, TU Dortmund).

Interessante topologische und geometrische Eigenschaften geschlossener glatter Mannigfaltigkeiten hängen entscheidend von der Geometrie ``im Großen`` ihrer universellen Überlagerungen ab. Dabei nehmen wir die Perspektive eines weit entfernten Beobachters ein und sehen von lokalen topologisch-geometrischen Eigenschaften der universellen Überlagerungen ab. Wir diskutieren dieses Zusammenspiel anhand einiger neuerer Ergebnisse.

Topics of this conference are * Multivariate Subdivision and Wavelets * Kernel based methods * Approximation by radial basis functions and meshless methods * Multivariate polynomial and spline approximation Invited Speakers: E. Berdysheva (Hohenheim) C. Conti (Florence) G. Fasshauer (Chicago) H. Hakopian (Yerevan) D. Leviatan (Tel Aviv) H. N. Mhaskar (Los Angeles) U. Reif (Darmstadt) L. L. Schumaker (Nashville) J. Suykens (Leuven)

In Zürich erwerben zukünftige Gymnasiallehrpersonen einen Master im Fach. Die pädagogisch-didaktische Ausbildung ist ein Zusatzstudium, das allerdings schon parallel zur Fachausbildung begonnen werden kann. Vor diesem Hintergrund wird im Vortrag zwei miteinander zusammenhängenden Fragen nachgegangen: Wie soll eine berufsspezifische Komponente in der Fachausbildung gestaltet werden? Und: Wie soll der gymnasiale Mathematikunterricht weiter entwickelt werden? Die Antworten hängen einerseits vom Mathematikbild ab, das die Verantwortlichen haben und andererseits von ihren Vorstellungen über das, was gymnasialer Mathematikunterricht erreichen soll.

Im Vortrag werden Ergebnisse einer videobasierten empirischen Studie dargestellt. Auf der Grundlage dieser Ergebnisse wird ausgeführt, wie Schülerinnen und Schülern im Grundschulmathematikunterricht in deutschen Schulen durch die sprachliche Gestaltung des Unterrichts Gelegenheiten zum Lernen von Mathematik gegeben werden. Im Ergebnis zeigt sich, dass die sprachliche Gestaltung des Grundschulmathematikunterrichts bei der Einführung neuer mathematischer Begriffe durch die Lehrpersonen einer Impliziten Pädagogik folgt, bei der entscheidende Aspekte zur Bedeutungsaushandlung im Unterricht verborgen bleiben. Eine solche Implizite Pädagogik drängt das explizite Lehren in den Hintergrund und ermöglicht es Schülerinnen und Schülern nur schwer in die fachlichen Inhalte des Unterrichts der Schule eingeführt zu werden.

In letzter Zeit wird vermehrt eine Verknüpfung der Forschungsbereiche Begabung und Expertise, teilweise sogar eine Hinwendung der Begabungsforschung zum Expertisebegriff gefordert. Diese Diskussion soll im Vortrag ausgehend von Erkenntnissen und Erfahrungen zu (potenziell) mathematisch begabten Schülerinnen und Schülern näher beleuchtet und es sollen Möglichkeiten eines integrativen Ansatzes für den Bereich der Mathematik skizziert werden. Zudem werden mögliche Schlussfolgerungen für die Förderung von Kindern und Jugendlichen mit besonderen mathematischen Kompetenzen dargestellt.

Können auch Schüler mit einer geistigen Behinderung „aktiv-entdeckend“ und mathematisch lernen, so wie dies bei Schülern mit einer Lernbehinderung inzwischen gut belegt ist? Neben der Frage nach entsprechenden Inhalten muss dabei auch über die angemessene Forschungsmethodik nachgedacht werden, da beispielsweise Interviews nicht möglich sind. In der Studie wurde ein Ansatz entwickelt, in dem das videographierte Verhalten der Schüler qualitativ ausgewertet wurde. So konnten Belege dafür gefunden werden, dass Schüler mit einer geistigen Behinderung sich mit mathematischen Denkspielen im Sinne des aktiv-entdeckenden Lernens auseinandersetzen.

The point group of a lattice is the group of linear isometries mapping the lattice to itself. It is easy to see that any lattice has a fundamental domain (wrt to translations) which symmetry group is the point group of the lattice: just take the Voronoi cells. It is slightly surprising that there are fundamental domains for certain lattices which possess more symmetry than the point group of the corresponding lattice. For instance, the point group of the square lattice is D_4 (the dihedral group of order 8). But there is a fundamental domain of the square lattice with eightfold symmetry, its symmetry group being D_8. This fundamental domain, discovered by Veit Elser about 10 years ago, is of fractal appearance. In this talk we show that all planar lattices - except rhombic lattices - have fundamental domains with more symmetry than the point group of the underlying lattice. In the generic case this fundamental domain will be of fractal appearance. An application of this result to minimal matchings will be presented, together with some fancy pictures. If time allows, we will briefly outline the situation in higher dimensions.

Die Bedeutung des räumlichen Vorstellungsvermögens und seiner Förderung im jüngeren Schulalter ist unumstritten. Lernprozesse zum Erwerb räumlich-visueller Qualifikationen sind oft mit hohem Aufwand an Material und Vorbereitungszeit verbunden. Sie erfordern wegen der unterschiedlichen Lernstände, Lernverläufe und Bedürfnisse an Lernzeit ein differenzierendes Arbeiten und eine gezielte Analyse von Lernprozessen. Insbesondere räumliche Prozesse können in Büchern oder Arbeitsheften nur unbefriedigend dargestellt werden. Lösungen von Aufgaben zum räumlichen Vorstellungsvermögen können beim Lernen mit Printmedien vom Lerner nicht dadurch kontrolliert werden, dass er ihre Richtigkeit bzw. Falschheit erkennt. Ziel der Arbeit ist die Entwicklung und Evaluation einer Lernsoftware zur differenzierenden Entwicklung aller Komponenten räumlich-visueller Qualifikation. Mit geeigneten Animationen und interaktiven Elementen soll sie dem Lerner das Versuchen, Irren, Korrigieren und „Einsehen“ ermöglichen. Außerdem soll die Software dem Lehrer die Analyse von Lernprozessen ermöglichen. Schließlich soll eine serverbasierte Lösung Daten liefern, die Grundlage zur Theoriebildung bezüglich der softwaregestützten Entwicklung räumlich-visueller Qualifikationen sind.

Funktionales Denken ist vielschichtig und hat viele Aspekte. In der Meraner Reform wurde die Erziehung zum funktionalen Denken als Sonderaufgabe herausgestellt. Gefordert wurde, dass das Denken in Variationen und funktionalen Abhängigkeiten gebietsübergreifend eingeübt und flexibilisiert werden sollte (Krüger 2000). In den Bildungsstandards nimmt funktionales Denken als Leitidee Funktionaler Zusammenhang eine zentrale Stellung ein. Im Vortrag wird erörtert, warum Dynamische Geometrie Software (DGS) funktionales Denken fördern kann und welche Aspekte funktionalen Denkens durch DGS besonders angesprochen werden. Die bisherigen Forschungen zum DGS-Einsatz bzw. Computereinsatz allgemein lassen auf neue Chancen hoffen, sind aber noch unzureichend. Es werden mehrere entwickelte Beispiele vorgestellt, die in Jahrgangsstufe 10 erprobt wurden und im Rahmen einer größeren Studie eingesetzt werden sollen.

Viele biologische und biomedizinische Fragestellungen sind in ihrem Kern Multi-Skalenprobleme: von der Molekularbiologie über die Zelle über das Organ bis hin zur Physiologie eines Organismus. Der zentrale Ansatz der Systembiologie verfolgt dabei das Ziel, Funktionalität im Sinne von Systemeigenschaften auf der Basis molekularer Interaktionen mit Hilfe von mathematischer Modellierung zu untersuchen. Zu diesem Zweck müssen skalenüberbrückende Modellierungskonzepte entwickelt werden. An einem Beispiel aus der Mikrobiologie, der Chemotaxis von Escherichia coli Bakterien, wird ein derartiges Konzept vorgestellt und mit Hilfe experimenteller Daten aus einem Kollaborationsprojekt mit dem Zentrum für Molekulare Biologie Heidelberg abgeglichen. Mit Hilfe dieses Multi-Skalen Modellierungsansatzes konnten plausible Hypothesen über zentrale evolutionäre Optimalitätsprinzipien der Bakterien gewonnen werden. Als zweites Beispiel wird die Modellierung raumzeitlicher Strukturbildung in Form von metabolischen Wellen und Oszillationen in menschlichen Immunzellen vorgestellt. Multi-Skalen Modelle sind allgemein selten in analytischer Form ableitbar, so dass numerische Methoden des Wissenschaftlichen Rechnens zum Einsatz kommen. Ein wichtiges Konzept dabei ist die Modellreduktion, um detaillierte mikroskopische Modelle auf die nächst höhere Modellierungsebene zu transferieren. Es wird ein neues und sehr leistungsfähiges Verfahren zur automatischen numerischen Berechnung reduzierter Modelle (bio)chemischer Kinetik präsentiert.

Die unterrichtliche Vermittlung mathematischer Modellierungskompetenz hat mit den Bildungsstandards Mathematik zumindest formal einen neuen Stellenwert im Mathematikunterricht erlangt. Dabei stellen sich nicht nur für die unterrichtende Lehrerperson, sondern auch für die mathematikdidaktische Forschung die nur schwer zu beantwortenden Fragen: Wie kann denn diese komplexe Fähigkeit überhaupt vermittelt werden? Welche unterrichtlichen Arrangements fördern diese? Und insbesondere wie soll die Lehrperson die Lernenden im Modellierungsprozess adäquat unterstützen? Auf der Basis empirischer Studien, versucht der Vortrag einige mögliche Antworten aufzuzeigen, wobei – so viel sei bereits verraten – wie immer mehr neue Fragen entstehen.

Seit seiner Einführung im Jahr 1970 hat das Chemotaxis-Modell von E. F. Keller und L. A. Segel viele Mathematiker in seinen Bann gezogen. Der Vortrag widmet sich einigen Resultaten zu einer Vermutung von S. Childress und J. K. Percus zum (zeit-)asymptotischen Verhalten der Lösungen dieses Modells und stellt hierbei auch neue Resultate zur Eindeutigkeit der stationären Lösung und seinen Symmetrie-Eigenschaften vor. Des Weiteren wird überprüft, ob die von Keller und Segel hergeleiteten Gleichungen auch zur Beschreibung von Chemotaxis-induzierten Musterbildungen und Strukturbildungen geeignet sind.

Anmerkungen zu einem System nichtlinearer Differentialgleichungen

In einem einfachen Modell untersuchen wir die Anordnung von Molekülen, die aus einem hydrophilen und einem hydrophoben Anteil bestehen, in membran-ähnliche Strukturen. Von einer mikroskopischen Beschreibung ausgehend enwickeln wir eine Energie auf einer mittleren Skala, die für Strukturen mit einer positiven ``Dicke`` definiert ist. Wir beweisen, dass die zweidimensionale Reduktion dieses Modells einige der wesentlichen Eigenschaften von Biomembranen widerspiegelt. Insbesondere zeigen wir, in einer geeigneten Reskalierung und im Limes einer verschwindenden Dicke der Strukturen, die Gamma-Konvergenz gegen die klassische Eulersche Biegeenergie. (Zusammenarbeit mit M. A. Peletier, TU Eindhoven)