Zur Unterstützung von Lernprozessen im Bereich der Leitidee ‚Zahlen und Operationen’, wird Grundschulkindern für gewöhnlich didaktisches Material angeboten. Sie sollen damit konkrete Aufgaben lösen, zunehmend tragfähigere Grundvorstellungen entwickeln und es zur Kommunikation mit anderen nutzen. Mit der Materialnutzung ist die Hoffnung verbunden, dass die Kinder die darin repräsentierten mathematischen Strukturen verinnerlichen. Wie aber kommt die Struktur in den Kopf? Im Vortrag wird der Frage nachgegangen, wie Grundschulkinder unter Nutzung von Sprache und Material mathematische Grundvorstellungen entwickeln. Dazu werden Fallbeispiele aus der Beratungsstelle für Kinder mit Rechenschwierigkeiten an der Universität Bielefeld analysiert und im Hinblick auf die funktionale Verwendung von sprachlichen und multimodalen Ressourcen diskutiert.

We discuss finite volume methods for hyperbolic pdes on Cartesian grids with embedded boundaries. Embedded boundary methods are very attractive for several reasons: The grid generation is simple even in the presence of complicated geometries. Furthermore, such an approach allows the use of regular Cartesian grid methods away from the embedded boundary, which are much simpler to construct and more accurate than unstructured grid methods. In embedded boundary grids with cut cells adjacent to the boundary, the cut cell volumes can be orders of magnitude smaller than a regular Cartesian grid cell volume. The use of standard difference procedures would lead to an unacceptable small integration timestep. Both accuracy and stability are issues that need to be addressed at these highly irregular cut cells adjacent to solid bodies. The goal is to construct a method which is stable for time steps that are appropriate for the regular part of the mesh and at the same time do not lead to a loss of accuracy. While previous finite volume cut cell methods have been constructed to obtain a second order accurate method, we are interested in higher order schemes. On the regular part of the grid we use the so called active flux method, a new finite volume method proposed by Roe et al. In my talk, after a short review of finite volumes methods, the active flux method will be explained in detail. 1d and 2d considerations will lead us to preliminiary results on the use of the active flux method for cut cells. Finally, a possible extension to nonlinear systems of equations will be introduced and its use in cut cell methods will be discussed.

Das Funktionale Denken, also das Denken in Zusammenhängen, Abhängigkeiten und Veränderungen, ist nicht nur im schulischen Kontext, sondern auch im Alltag von Lernenden relevant. Leider deuten empirische Studien darauf hin, dass es eine Vielzahl an Lernschwierigkeiten bezogen auf den Inhalts-bereich Funktionen gibt und dass Mathematik-Lehrkräften diese oft nur unzureichend bekannt sind. Das Projekt ProfiL 9 der PH Heidelberg zielt darauf ab, durch eine Fortbildung zum Umgang mit Lern-schwierigkeiten bei elementaren Funktionen das diesbezügliche Lehrerwissen sowie das Lernen von Schülerinnen und Schülern zu verbessern. Im Vortrag sollen Ergebnisse der Lehrertestung im Vorfeld der Fortbildung vorgestellt werden. In Anlehnung an das MKT-Modell steht KCS und KCT bezogen auf elementare Funktionen im Fokus des Lehrertests. Insbesondere soll im Vortrag auf diesbezügliche Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen Personengruppen verschiedenen Stadien der Lehrerbildung eingegangen werden.

Hilbert has proven that a real polynomial in two variables that takes only nonnegative values is a sum of four squares of rational functions. Cassels, Ellison and Pfister have shown that this result is optimal: there exist such polynomials that are not sums of three squares of rational functions. In this talk, we will explain why those polynomials that can be written as sums of three squares are dense in the set of those that are nonnegative. The proof relies on the study of real Noether-Lefschetz loci.

Visualisierungen in Form von selbsterstellten Skizzen werden im Mathematikunterricht häufig eingesetzt und als hilfreiches strategisches Instrument zur Unterstützung von Problemlöseprozessen angesehen. Das Erstellen einer Skizze erfordert die Selektion und Organisation von relevanten Informationen und kann so zu einer tieferen Informationsverarbeitung, zu einem besseren Problemverständnis und zu einer richtigen Lösung führen. Allerdings wirkt die Aufforderung, eine Skizze zu zeichnen, nicht immer positiv auf die Leistungen von Lernenden. Im Vortrag wird über die ersten Ergebnisse des DFG-Projekts ViMo (Visualisierungen bei der Bearbeitung von Modellierungsaufgaben) berichtet. Im Projekt wird untersucht, welchen Einfluss emotional-affektive, kognitive und strategische Lernvoraussetzungen auf Skizzennutzung, Skizzenqualität und Modellierungsleistungen der Neuntklässler haben.

Schülerinnen und Schüler praktizieren unterschiedliche Lösungswege, je nachdem, wie sie Zahlen sehen bzw. verstehen und verknüpfen. Der Vortrag gibt Einblicke in typische Entwicklungsverläufe beim Lösen von zwei- bis dreistelligen Additions- und Subtraktionsaufgaben von der zweiten bis zur vierten Schulstufe. Vorgestellt wird eine qualitative Längsschnittstudie (Panelstudie; N = 44), in der Lösungswege und Lösungsquoten erhoben, ausgewertet und daraus sieben Typen von arithmetischen Entwicklungsläufen abgeleitet wurden.

In this talk I will look at different fields where one has (or might hope for) a local-global principle for isotropy with respect to a certain set of valuations. For 4-dimensional quadratic forms this problem is closely related to quaternion algebras and their quadratic subfields. I will give some examples over rational function fields. When a local-global principle holds over some field, I will indicate how this can be used to obtain first-order definitions for certain integrally closed subrings.

Im ersten Teil des Vortrags wird die Korrespondenz zwischen Operatoren und quadratischen Formen beleuchtet. Der Darstellungssatz von Riesz garantiert eine eins-zu-eins Korrespondenz zwischen beschränkten selbstadjungierten Operatoren und symmetrischen Formen. Für indefinite unbeschränkte Formen/Operatoren ist diese Situation komplizierter. Im zweiten Teil wird Ladyzhenskays's bemerkenswerter Stabilitäts-Satz der Fluidmechanik präsentiert: Für kleine Reynoldszahlen werden Strömungen im Grenzwert stationär. Als mögliche Erklärung dieser Stabilität wird gezeigt, dass die Rotation spektraler Teilräume des Stokes-Operators durch die Reynoldszahl beschränkt ist, das Tan-2-Theta-Theorem der Fluid Mechanik. Der Vortrag basiert auf gemeinsamer Arbeit mit L. Grubisic, V. Kostrykin, K. A. Makarov und K. Veselic

We consider simple parameter identification problems arising in continuum mechanics, focussing on a finite number of parameters and observations. Some error estimates and estimators for finite element discretisations are reviewed. We discuss implementation based on standard numerical optimization libraries.

In recent years, spacecraft navigation and control has achieved astonishing feats. As a recent example, the journey of ESA's Rosetta craft through the inner Solar System lasted ten years and covered 6.4 billion km until the lander Philae landed on comet 67P in November 2014. Likewise, the Japanese craft Hayabusa2 will fly 5.4 billion kilometers within six years in order to return samples from the asteroid Ryugu to Earth.
In this talk, we highlight some of the difficulties of planning corresponding flight paths of future missions in an optimal fashion, present some of the underlying mathematical models, and discuss methods from mathematical optimization that help to attain such amazing accomplishments.

In my talk I shall first give a short survey on Novikov homology and its applications.
Then I shall outline the construction of Novikov fundamental group, which is a refinement of Novikov homology, and its applications that have been introduced and investigated in our recent joint work with Jean Francois Barraud, Agnes Gabled and Roman Golovko (https://arxiv.org/abs/1710.10353).

In the talk we discuss a recently introduced finite element numerical method for the solution of partial differential equations on evolving domains. The approach uses a completely Eulerian description of the domain motion. The physical domain is embedded in a triangulated computational domain and can overlap the time-independent background mesh in an arbitrary way. The numerical method is based on finite difference discretizations of time derivatives and a standard geometrically unfitted finite element method with an additional stabilization term in the spatial domain. The performance and analysis of the method rely on the fundamental extension result in Sobolev spaces for functions defined on bounded domains. The talk is based on a joint work with Christoph Lehrenfeld (Goettingen).

Grabenkämpfe zwischen qualitativer und quantitativer Forschung scheinen in dem Aufkommen der Diskussion über Mixed Methods als Integration unterschiedlicher Forschungsperspektiven einen viel versprechenden Ausweg gefunden zu haben. Best-practice Beispiele für aktuelle Forschungsdesigns bezeugen, dass ein Methodenmix durch eine sinnvolle Kombination unterschiedlicher Forschungs-methoden funktional zum Erkenntnisgewinn mathematikdidaktischer Forschung beitragen kann. Doch lässt sich ein Mixed Methods Forschungsansatz auch über rein methodologische Begründungen hinaus fachlich begründen? Der Vortrag fasst die Überlegungen zu der Frage zusammen, inwieweit Begründungen für gemischt-methodische Forschungsvorhaben auch aus der Forschungsdisziplin und ihrer Forschungsgegenstände hergeleitet werden können.

Jean-Pierre Serre und (unabhängig) Christian Hirsch haben die kohomologischen Invarianten von Weylgruppen in Milnor K-Theorie mod 2 berechnet. In meinem Vortrag möchte ich über diese Resultate und Methoden berichten, sowie diskutieren inwieweit man hoffen kann diese auf Pseudo-Spiegelungsgruppen und Witt-Invarianten zu verallgemeinern.

Es gibt verschiedene Verfahren zur Durchführung der schriftlichen Subtraktion, die sich je nach Art der Differenzbildung und der Technik beim Stellenübergang unterscheiden. Seit einiger Zeit ist die Wahl – zumindest in einigen Bundesländern – freigestellt. Um Lehrer*innen bei der Wahl zu unterstützen, ist die empirische Prüfung von aktuellen Argumenten für und gegen die einzelnen Verfahren notwendig. Dabei ist zum einen die Effizienz der Verfahren bzgl. der Ermittlung richtiger Ergebnisse zu bedenken, vor dem Hintergrund aktueller Forderungen an Mathematikunterricht aber auch das Verständnis der Verfahren. Wenige Studien sind vorhanden, die aufgrund verschiedener Einschränkungen kaum bei der Wahl unterstützen können. Im Vortrag werden Ergebnisse einer explorativen Studie zu verfahrensübergreifenden und -spezifischen Schwierigkeitsmerkmalen in Aufgaben und Fehlermustern berichtet sowie auf die Bewertung des Verständnisses der Verfahren eingegangen.

Die Einführung der modernen Mathematik in die Grundschulen der Bundesrepublik in den 1970ern – bis heute bekannt unter dem Schlagwort „Mengenlehre“ – gilt gemeinhin als Beispiel für eine gescheiterte Reform, ohne dass dabei geklärt wäre, was das eigentlich bedeuten soll und kann. Um sich der Frage danach, was hier an welcher Stelle gescheitert ist, bzw. allgemeiner einer historischen Einordnung der Reform zu nähern, ist eine differenzierte Beschreibung der Ziele, Inhalte, Umsetzung und des Ablaufs der Reform notwendig. Im Vortrag sollen – unter Nutzung eines Mehr-Ebenen-Modells des Bildungssystems – verschiedene Aspekte der Reform beschrieben werden, wobei der Schwerpunkt auf der Frage nach der Umsetzung grundlegender Ideen in zeitgenössischen Lehrwerken für den Anfangsunterricht liegt.

Optimization of damage evolution is a mathematically challenging task. Due to natural assumptions, such as irreversibility of damage, the lower level, damage, problem is a variational inequality. Thus the optimization becomes an MPCC in function space. Within the talk, we will consider a damage model in discrete time, and discuss the corresponding optimization problem based on a sequence of regularized optimization problems. We will discuss convergence of these regularized problems based on new regularity results and show the computational feasibility of the resulting optimization problems.

Der Aufbau diagnostischer Kompetenzen gilt als ein wesentliches Ziel der ersten Phase der Lehrerbildung. Simulationsbasierte Lernumgebungen bieten eine Möglichkeit, authentische Lerngelegenheiten in adressatengerechter Komplexität in die universitäre Ausbildung zu integrieren. In der DFG-Forschergruppe cosima wird die Messung und Förderung diagnostischer Kompetenzen von angehenden Lehr-kräften und Medizinern in simulationsbasierten Lernumgebungen untersucht. Im Vortrag werden das Forschungsprogramm sowie erste gemeinsame Ergebnisse der Forschergruppe vorgestellt. Die Arbeit der Forschungsgruppe wird anhand von simulationsbasierten Lernumgebungen für angehende Mathematiklehrkräfte aus zwei Teilprojekten der Forschungsgruppe illustriert. Abschließend werden erste empirische Ergebnisse zur Nutzbarkeit dieser Simulationen für die Messung und Förderung diagnostischer Kompetenzen diskutiert.

The Curie-Weiss model is probably the easiest model for magnetism, it shows a phase transition between a non-magnetic and a magnetic phase, yet it can be solved rather explicitly. In this talk we introduce this model and show some of its most important properties using elementary methods. At the end of the talk we present two recent developments using the Curie-Weiss model, one on voting theory and one on random matrices.

Max Dehn bewies 1900, dass das euklidische Parallelenaxiom (EP) staerker ist als das Rechteckaxiom (R), das besagt, dass es ein Rechteck gibt (oder, gleichwertig, dass die Summe der Winkel in einem Dreieck zwei rechte Winkel betraegt). Friedrich Bachmann bewies 1964, dass das Lotschnittaxiom --- das besagt, dass die Senkrechten, die auf den Schenkeln eines rechten Winkels errichtet werden, sich schneiden --- schwaecher ist als R. Etliche andere Axiome wurden im Laufe der Geschichte (unter anderen von Lagrange, Lippmann, und Lebesgue) vorgeschlagen entweder um das euklidische Parallelenaxiom zu beweisen oder als ihm gleichwertige Aussagen. Es stellt sich heraus, dass sie alle dem Lotschnittaxiom gleichwertig sind. Es gibt selbst eine Allheitsaussage, die dem Lotschnittaxiom gelichwertig ist. Ein neues natuerlcihes Axiom, das noch schwaecher als das Lotschnittaxiom ist, wird eingefuehrt und untersucht. Eine elementare Form des archimedischen Axioms, das aristotelische Axiom, sowie andere Axiome werden in dieser Uebersicht auftreten.

A posteriori error estimators are a key tool for the quality assessment of given finite element approximations to an unknown PDE solution as well as for the application of adaptive techniques. Typically, the estimators are equivalent to the error up to an additive term, the so called oscillation. It is a common believe that this is the price for the `computability' of the estimator and that the oscillation is of higher order than the error. Cohen, DeVore, and Nochetto [CoDeNo:2012], however, presented an example, where the error vanishes with the generic optimal rate, but the oscillation does not. Interestingly, in this example, the local $H^{-1}$-norms are assumed to be computed exactly and thus the computability of the estimator cannot be the reason for the asymptotic overestimation. In particular, this proves both believes wrong in general. In this talk, we present a new approach to posteriori error analysis, where the oscillation is dominated by the error. The crucial step is a new splitting of the data into oscillation and oscillation free data. Moreover, the estimator is computable if the discrete linear system can essentially be assembled exactly. [CoDeNo:2012] A.~Cohen, R.~DeVore, and R.~H. Nochetto, Convergence Rates of AFEM with $H^{-1}$ Data, Found Comput Math 12 (2012):671–718

Ohne Objekte, ohne Materialien und Arbeitsmittel ist Lernen im Mathematikunterricht der Grundschule kaum vorstellbar. Doch in welcher Weise wirken Objekte im mathematischen Lernprozess? Im Vortrag wird unter Rückgriff auf Latour eine soziologisch orientierte Perspektive auf Mathematikunterricht eingenommen, die Arbeitsmittel und Materialien als Akteure im unterrichtlichen Interaktionsgeschehen versteht. Insbesondere werden empirische Ergebnisse gebündelt vorgestellt. Dabei wird auf drei Aspekte eingegangen: Sprache, Argumentation und Abstraktion.

Let F be a field, D be a central division F-algebra of prime power degree. By the Rost kernel of D we mean the subgroup of F^* consisting of elements \lambda such that the cohomology class (D)\cup (\lambda)\in H^3(F) vanishes. In general, this subgroup contains the Suslin kernel, which we define to be the group generated by m-th powers of reduced norms from D^{\otimes m}, for all m\ge 1. In 1985, Suslin conjectured that the Rost and the Suslin kernels always coincide. In this talk we will discuss some new cases of his conjecture, for complete discrete valuation fields. This is based on a joint work with Zhengyao Wu.

Wiener’s 1/f lemma is a celebrated result that states that if a continuous non-vanishing periodic function f has a summable Fourier series then so does the function 1/f. In the past 30 years, this lemma has been extended to a variety of non-commutative settings where the role of the function f is played by a linear operator (matrix) or when f is operator-valued. We shall discuss a few of those extensions and illustrate how they can be used to obtain results about frame localization and matrix factorizations.

Die professionellen mathematikspezifischen Kompetenzen von Lehrkräften wurde in den letzten Jahren intensiv erforscht. Bisher nicht untersucht worden sind Kompetenzen von (Sonderschul)Lehrkräften hinsichtlich des Umgangs mit Rechenschwäche. Im Vortrag wird ein Instrument vorgestellt mit dem das Ziel verfolgt wird, nicht nur deklaratives Wissen, sondern insbesondere auch kontextbezogene und handlungsnahe Kompetenzen zu erfassen. Dies erfolgt mit videobasierten Items, bei denen die Testpersonen - wie in realen Unterrichtsituationen – spontan auf Fragen oder ungeeigneten Vorgehens von Schülerinnen und Schülern reagieren, indem unter Zeitdruck Sprachantworten eingefordert werden. Am Beispiel von ausgewählten Items soll insbesondere die Codierung aus fachdidaktischen Gesichtspunkten diskutiert werden.

Bei diesem Vortrag soll den Hörerinnen und Hörern leicht verständlich die Simulation von Extrusionsprozessen nahegebracht werden. Besonderer Wert wird auf die Simulation von Ein- und Doppelschneckenextrudern und die sich daraus ergebenden Konsequenzen für die Prozessoptimierung gelegt.
In einem zweiten Teil wird auf die Simulation von Werkzeugen und von Wendelscher- und Mischteilen eingegangen.
Abschließend wird die optimale Geometriegestaltung durch die Nutzung von KI-Systemen vorgestellt und die Anwendung im Bereich Extrusion erläutert.

In this talk we present a robust methodology for solving incompressible, immiscible two-phase flows modeled by the Navier-Stokes equations. All the equations are solved using continuous Galerkin finite elements. We start by describing the general algorithm, which employs a splitting operator technique that considers a velocity field to advect the material interface via a phase conservative level-set method. Afterwards, the new interface location is used to reconstruct the material parameters and to solve the Navier-Stokes equations to obtain a new velocity field. Most of the presentation will be devoted to the representation and time evolution of the interface. There is an extensive list of methodologies to treat material interfaces. Popular choices include the volume of fluid and level-set methods. We propose a novel level-set like model for multiphase flow that preserves the initial mass of each phase. The model combines and reconciles ideas from the volume of fluid and level-set methods by solving a non-linear conservation law for a regularized Heaviside function of the level-set function. By doing this, we guarantee conservation of the volume enclosed by the interface. Our level-set model contains a term that penalizes deviations from the distance function. The result is a non-linear monolithic model for a phase conservative level-set with embedded redistancing. To solve the Navier-Stokes equations we use a second order projection scheme. Using ideas for solving hyperbolic PDEs via continuous Galerkin finite elements, we propose a robust and parameter free stabilization for the momentum equations. This stabilization is suitable for unstructured meshes and has been tested for multiple refinement levels. We present several numerical examples to demonstrate the behavior of this method under different scenarios.

Recent advances have enabled the development of efficient high-order entropy-stable discretizations for the Euler and Navier-Stokes equations. However, the strict entropy-stability property is destroyed by standard explicit time discretizations. I will present a class of Runge–Kutta-like methods, related to projection methods, that guarantee conservation or stability with respect to any inner-product norm, and thus provide fully-discrete entropy stability for symmetric hyperbolic systems at the same cost as standard explicit Runge-Kutta time stepping. Because of the methods’ special form, they retain many desirable properties (including order of accuracy, approximate linear stability, and strong stability preservation) of the original Runge–Kutta method. I will show several numerical examples, including an extension to preservation of stability for arbitrary convex entropies such as the standard entropy for the Euler equations.
This is joint work with H. Ranocha, M. Alsayyari, M. Parsani, and L. Dalcin.

Multi scale analysis is a method to prove spectral and dynamical localisation of wavepackes whose motion is governed by a random operator of Schroedinger type. To be able to apply this method one has to ensure that certain assumptions are satisfied, which physically correspond to an appropriate energy x disorder regime. Oftentimes the random Schroedinger operator contains an explicit tuning parameter which couples the random perturbation. The talk discusses appropriate starting assumptions for the multi scale analysis for models including an explicit disorder parameter, which however enters the model possibly in a non-linear way.

The inverse problem of resolving the 'cocktail party problem' is the topic of discussion in this lecture. As an example, consider listening to a beautiful piece of classical music either from playing a CD or enjoying a symphony orchestra. The sound of the music being played is considered a blind source. The blind-source recovery problem is the inverse problem of identifying which musical instruments are being played, the number of all such instruments, as well as finding the amplitudes, musical tone, and time-varying (or instantaneous) frequencies, produced by each individual musical instrument. Being able to identify the music produced by every individual instrument requires determining the times of 'arrival (signal onset) and departure (signal offset)' of the sound produced by this particular instrument and calculating its sound volumes (amplitudes) and instantaneous frequencies (IFs).
We will first introduce a general mathematical model of composite signals and time series, and explain why the existing decomposition methods fail to resolving the inverse problem. We will then recall two existing and somewhat successful approaches, namely: 'synchro-squeezing transform (SST)' proposed by Ingrid Daubechies, and 'signal separation operation (SSO)' introduced by Hrushikesh Mhaskar and myself, while pointing out that they are completely different but sharing the same requirement of positive IFs in the entire time interval and the necessity of adjusting two (free) parameters for extracting the IFs, from which the composite signal or time series components are to be resolved.
A new theory, along with effective computational schemes and algorithms, based on spline approximation and continuous wavelet transform (CWT), will be presented in this lecture. As a departure from the SST and SSO approaches, extracting the IFs is not necessary for resolving the inverse problem of separating and recovering the components of the composite signal or time series from the blind source. Instead, the scale of the CWT is the only parameter to be determined, for which wavelet thresholding is instrumental to separating this wavelet scale into clusters, with cardinality to match the number of (active) components that constitute the composite signal or time series, and that extrema estimation for each cluster gives rise to the optimal scales, from which the components as well as their corresponding IFs are recovered independently.

Als Maß für die Komplexität einer quadratischen Form q in der n-ten Potenz des Fundamentalideals IF untersucht man die minimale Anzahl an n-fachen Pfisterformen, die benötigt wird, um q im Wittring als Summe ebendieser darzustellen. Diese minimale Anzahl nennt man Pfisterzahl von q. Während für kleine n und kleine Werte von dim(q) noch einige Pfisterzahlen bekannt sind, stößt man sonst sehr schnell auf die Grenzen der aktuellen Forschung, sodass man sich zunächst auf Formen über in einem gewissen Sinne einfache Körper beschränkt. Ein Beispiel hierfür sind sogenannte starre Körper, in denen mit Hilfe von Bewertungstheorie und kombinatorischen Überlegungen viele Schranken oder sogar konkrete Werte für gewisse Pfisterzahlen berechnet werden können. Dieser Vortrag zeigt einige dieser Resultate und gibt einen kleinen Einblick in die benutzten Beweistechniken.

Mit dem Einzug der Digitalisierung in die Lehre ergeben sich völlig neue Möglichkeiten zur Gestaltung digital gestützter Lehr-/Lernkonzepte. Beispielsweise können randomisierte, strukturgleiche Aufgaben konstruiert werden, mit denen Lernende beliebig häufig online üben können. Dabei lassen sich didaktisch anspruchsvolle Aufgaben entwickeln, die von der Einbindung dynamischer Geometriesoftware über adaptives/konfliktinduzierendes/ audiovisuelles Feedback bis zur adaptiven Aufgabensteuerung und der Integration von Microlearning-Komponenten reichen. Durch diese smarten digitalen Aufgaben wird ein intelligentes Üben möglich, das Präsenzübung vom Vorrechnen weitestgehend befreit. Die freiwerdende Zeit ist nutzbar für Methoden, die ein tiefes Lernen ermöglichen, wie z. B. problembasiertes Lernen. Dieses wiederum kann durch VR/AR-Technologie, wie beispielsweise Educational Games, wirksam unterstützt werden. Neben den smarten Aufgaben stellt PBL den wichtigsten Baustein von „Deep Learning & Smart Training“ dar. Im Vortrag werden das Konzept, dessen Forschungs- und Evidenzbasierung sowie Ergebnisse formativer Evaluationen aus dem dreijährigen Entwicklungsprozess vorgestellt.

In den mathematikdidaktischen Konzeptionen zum basalen Rechnenlernen scheint in den letzten 20 Jahren ein gewisser Vereinheitlichungsprozess stattgefunden zu haben. Im Vortrag werde ich versuchen, aktuelle Konzeptionen zu vergleichen und das von mir vertretene Konzept der begrifflichen Durchdringung des Gegenstandes einzuordnen. Insbesondere wird es darum gehen, warum es konzeptionell nicht reicht, verschiedene Repräsentationen von mathematischen Gegenständen ineinander zu übersetzen oder Argumentationen anhand mathematischer Muster abzufordern.

The Pythagoras number of a field is the smallest number p such that every positive definite element in the field is a sum of p squares. It is an open problem whether the Pythagoras number p(K(X)) of a rational function field K(X) can be bounded in terms of p(K), the Pythagoras number of the base field. For the case when K is a number field, Pourchet proved in 1971 that p(K(X)) is at most 5. This bound is also sharp for example if K is the field of rational numbers Q, because X^2+7 is a sum of 5 but not of 4 squares in Q(X). Based on a detailed investigation of Pourchet's proof by my PhD student M. Zaninelli I will give an overview on the ingredients of this proof and point out some possible extensions.

Bernstein's theorem that an entire minimal graph over the Euclidean plane is flat is a key result in the theory of nonlinear partial differential equations, and the challenge to generalize this to higher dimensions and codimensions became a guiding problem for geometric analysis in the second half of the 20th century. The lecture will present recent discoveries that lead to a more complete picture.

Für eine komplexe Kurve ist bekannt, dass diese genau dann unverzweigt ist, wenn sie eine rationale Normalkurve ist. Die Klassifizierung unverzweigter reeller Kurven ist dagegen komplizierter. Huisman (2003) hat gezeigt, dass es unverzweigte Kurven beliebigen Grades und Geschlechts in ungerade-dimensionalen projektiven Räumen gibt. Er stellt in seiner Arbeit die Vermutung auf, dass es sich bei diesen stets um M-Kurven handeln muss, also Kurven mit der maximalen Anzahl an Zweigen. Im Vortrag stellen wir eine Methode vor, wie man Kurven in der Segre-Quadrik mit vorgegebenem Schnittverhalten mit beliebigen Hyperebenen konstruiert und widerlegen damit die Vermutung.

We study the mean curvature flow with given non-smooth forcing term. In 2011, Mugnai and Roeger showed a global existence of the weak solution via the phase field method. Generally, the most difficult part of the proof of the existence theorem is the estimates of the positive part of the discrepancy measure. In this talk, we explain a new modified Allen-Cahn equation which satisfies the non-positivity of the discrepancy measure, and we prove the existence of the weak solution for the mean curvature flow with forcing term in suitable Sobolev spaces.

Copulas are the link between multivariate distributions and their univariate marginals, studying dependence therefore means studying copulas. Complementing their obvious importance for statistics and data analysis in general, copulas - or, equivalently, d-stochastic measures - are also interesting objects from the perspective of geometry (characterizing extreme points), from the perspective of topology (peculiar sets are co-meager), and from the perspective of dynamical systems (iterates of the so-called star product, iterations of shuffles, etc.). Additionally, despite intuitively being regular objects copulas can exhibit surprisingly singular behavior and can, e.g., have fractal supports. The talk first introduces copulas and d-stochastic measures and then discusses both solved as well as open problems illustrating the afore-mentioned aspects.

Im Rahmen der Veranstaltung ``Innovations- und Entwicklungsmanagement: 3D CFD Simulationen zur Prozessauslegung, -analyse und -optimierung“ wird ein Vortrag von Dr.-Ing. Tobias Herken, dem Geschaeftsfuehrer der IANUS Simulation GmbH, gehalten. Bei diesem Vortrag soll dem Hoerer leicht verstaendlich die Simulation von Extrusionsprozessen nahegebracht werden. Besonderer Wert wird auf die Simulation von Ein- und Doppelschneckenextrudern und die sich daraus ergebenden Konsequenzen für die Prozessoptimierung gelegt. In einem zweiten Teil wird auf die Simulation von Werkzeugen und von Wendelscher- und Mischteilen eingegangen. Abschließend wird die optimale Geometriegestaltung durch die Nutzung von KI-Systemen vorgestellt und die Anwendung im Bereich Extrusion erlaeutert.

We will focus on indecomposable integers, one particular subset of algebraic integers in totally real extensions of $\mathbb{Q}$. In the case of quadratic fields $\mathbb{Q}(\sqrt{D})$, we can get all of them using the continued fraction of $\sqrt{D}$ or $\frac{\sqrt{D}-1}{2}$. Following this relation, we will show how to obtain these elements in the simplest cubic fields using the Jacobi-Perron algorithm, which generates one type of multidimensional continued fractions.

PDE models are often characterised by local features such as solution singularities/layers and domains with complicated boundaries. These special features make the design of accurate numerical solutions challenging, or require huge amount of computational resources. One way of achieving complexity reduction of the numerical solution for such PDE models is to design novel numerical methods which support general meshes consisting of polygonal/polyhedral elements, such that local features of the model can be resolved in efficiently by adaptive choices of such general meshes. In this talk, we first will review the recently developed hp-version symmetric interior penalty discontinuous Galerkin (dG) finite element method for the numerical approximation of PDEs on general computational meshes consisting of polygonal/polyhedral (polytopic) and even curved elements. The key feature of the proposed dG method is that the stability and hp-version a-priori error bound are derived based on the specific choice of the interior penalty parameters which allows for edges/faces degeneration. Moreover, under certain practical mesh assumptions, the proposed dG method was proven to be available to incorporate essentially arbitrarily-shaped elements with an arbitrary number of faces or even curved faces. Because of utilising general shaped elements, the dG method shows a great flexibility in designing an adaptive algorithm by refining or coarsening general polytopic elements. Next, we will present recent results on a new a posteriori error analysis for the dG method on general-shaped elements. The new a posteriori error analysis generalizes the know results for hp-dG methods to admit arbitrary number of irregular hanging nodes per element. Finally, a series of numerical experiments is also presented, highlighting the good performance of the proposed dG method.

Abstract: Standard dependence measures considered in the (mostly non-mathematical) literature like Pearson correlation, Spearman correlation, the Maximal information coefficient (MIC), and Schweitzer and Wolff’s famous sigma are symmetric, i.e. they assign each pair (X, Y) of random variables the same dependence as they assign the pair (Y, X). Independence of two random variables is a symmetric concept modelling the situation that knowing X does not yield any information gain about Y and vice versa - dependence, however, is not. Thinking, for instance, of a sample (x1, y1), ..., (xn, yn) roughly in the shape of a noisy letter V, it is without doubt (on average) easier to predict the y-value given the x-value than vice versa.
In 2010 a Markov kernel based, scale-free dependence measure quantifying directed dependence of pairs of random variables was introduced in [1]. In 2018 a checkerboard-based estimator for this dependence measure was derived and implemented in the R-package qad (short for quantification of asymmetry in dependence). Given a sample sample (x1, y1), ..., (xn, yn) the R-package estimates the dependence of the second variable on the first one and vice versa, and, as a byproduct, calculates the asymmetry in dependence of the underlying dependence structure.
After recalling some background on copulas the talk will sketch the basic ideas behind the qad-estimator, show that the estimator is strongly consistent (without any regularity assumptions), and illustrate its asymptotic as well as its small sample properties by some examples.

[1] W. Trutschnig: On a strong metric on the space of copulas and its induced dependence measure, Journal of Mathematical Analysis and Applications 384, 690-705 (2011), doi:10.1016/j.jmaa.2011.06.013

Many mathematical CFD models involve transport of conserved quantities that must lie in a certain range to be physically meaningful. The solution u of a scalar conservation law is said to satisfy a maximum principle (MP) if global bounds u_min and u_max exist such that u_min <= u(t,x) <= u_max. To enforce such inequality constraints for DG solutions at least for element averages, the numerical fluxes must be defined and constrained in an appropriate manner. We introduce a general framework for calculating fluxes that produce non-oscillatory DG approximations and preserve the MP for element averages even if the exact solution of the PDE violates them due to modeling errors or perturbed data. The proposed methodology is based on a combination of flux and slope limiting: The flux limiter constrains changes of element averages so as to prevent violations of global bounds. The subsequent slope limiting step adjusts the higher order solution parts to impose local bounds on pointwise values of the high-order DG solution. Since manipulations of the target flux may introduce a consistency error, it is essential to guarantee that physically admissible fluxes remain unchanged. The novel fractional step flux limiting approach is iterative while in each iteration, the MP property is guaranteed and the consistency error is reduced. Practical applicability is demonstrated by numerical studies for the advection equation (hyperbolic, linear) and the Cahn-Hilliard equation (parabolic, nonlinear) for which additionally some extensions are discussed. The flux limiter (similar to a slope limiter) is a local/parallelizable postprocessing procedure that can be applied to various types of DG discretizations of a wide range of scalar conservation laws.

Mazur conjectured, after Faltings's proof of the Mordell conjecture, that the number of rational points on a curve depends only on the genus, the degree of the number field and the Mordell-Weil rank. This conjecture was established in a few cases. In this talk I will explain how to prove this conjecture and some of its generalization. I will focus on how functional transcendence and unlikely intersections on mixed Shimura varieties are applied. This is joint work with Vesselin Dimitrov and Philipp Habegger.

Vielen Schülerinnen und Schülern gelingt es nicht in ausreichendem Maß, Größenvorstellungen für Brüche schnell zu aktivieren. Dass 1/2 + 1/2 nicht 2/4 sein kann, ist dann nicht unmittelbar zu erkennen. Schwierigkeiten beim Aktivieren von Größenvorstellungen sind vielfältig; auch intuitive kognitive Prozesse scheinen eine Rolle zu spielen. Im Vortrag werden experimentelle Studien mit Kindern und Erwachsenen vorgestellt, in denen mit Hilfe von Reaktionszeiten und Blickbewegungen Größenvorstellungen sowie intuitive Verarbeitungsprozesse erfasst werden. Aus den Studien ergeben sich Einsichten in grundlegende kognitive Verarbeitungsprozesse, aber auch Implikationen für gezielte Förderansätze.

The construction of a finite element space usually consists of two steps. First, a broken space is obtained prescribing a finite element in each cell of a mesh. Second, certain adjacent degrees of freedom are identified, and the associated shape functions are coupled, so to enforce some sort of continuity. Hence, when approximating a target function, the best error in the resulting finite element space is not smaller than the one in the associated broken space. We prove that the converse inequality is true, up to a constant, if and only if a suitable algebraic condition holds. We show also that a quantitative control of the best such constant can be obtained by averaging operators. In certain cases, the analysis can be further refined, noticing that the best errors in the two spaces actually coincide. We illustrate our findings by several examples. This is a joint work with Thirupathi Gudi and Andreas Veeser.

Der Übergang von der Schule an die Hochschule stellt Lernende häufig vor große Herausforderungen. Die Hochschulen haben hierauf in den letzten Jahren mit vielfältigen Maßnahmen (z. B. durch Eingangstests, Vor- und Brückenkurse sowie semesterbegleitende Angebote) reagiert. Neben dem Vorwissen, das Studierende an die Hochschule mitbringen, wird die Leistung im Studium von weiteren Faktoren beeinflusst. So haben etwa Selbstwirksamkeitserwartungen Einfluss auf die Studienleistung. Zur Gestaltung des Übergangs werden Maßnahmen für einen nachhaltigen Mathematikunterricht, für die Konkretisierung der Bildungsstandards, für die Gestaltung des Übergangs Schule–Hochschule und die Mathematikausbildung im Studium gefordert. Beispiele für konkrete Unterstützungsangebote zeigen Chancen und Möglichkeiten im Umgang mit dem Übergang Schule-Hochschule, und empirische Ergebnisse verdeutlichen mögliche Zusammenhänge zwischen Vorwissen, Maßnahmen zu Studienbeginn und Studienerfolg.

Der Übergang von der Schule an die Hochschule stellt Lernende häufig vor große Herausforderungen. Die Hochschulen haben hierauf in den letzten Jahren mit vielfältigen Maßnahmen (z. B. durch Eingangstests, Vor- und Brückenkurse sowie semesterbegleitende Angebote) reagiert. Neben dem Vorwissen, das Studierende an die Hochschule mitbringen, wird die Leistung im Studium von weiteren Faktoren beeinflusst. So haben etwa Selbstwirksamkeitserwartungen Einfluss auf die Studienleistung. Zur Gestaltung des Übergangs werden Maßnahmen für einen nachhaltigen Mathematikunterricht, für die Konkretisierung der Bildungsstandards, für die Gestaltung des Übergangs Schule-Hochschule und die Mathematikausbildung im Studium gefordert. Beispiele für konkrete Unterstützungsangebote zeigen Chancen und Möglichkeiten im Umgang mit dem Übergang Schule-Hochschule und empirische Ergebnisse verdeutlichen mögliche Zusammenhänge zwischen Vorwissen, Maßnahmen zu Studienbeginn und Studienerfolg.

The famous Langrange's four-square theorem claims that every positive rational integer can be represented as a sum of four squares; Ramanujan later provided a list of all positive definite forms in four variables over Z sharing the same property. In general, for a totally real number field K, a quadratic form over the ring of integers O_K is called universal if it allows to represent every totally positive element of O_K; a notorious example is the sum of three squares for K=Q(\sqrt{5}). Kitaoka conjectured that there are only finitely many fields which admit a ternary universal totally positive definite form; Chan, Kim and Raghavan proved that it is true for classical forms over real quadratic fields. In a recently submitted paper (https://arxiv.org/abs/1909.05422) with M. Tinkova and K. Zemkova, we prove the same for totally real biquadratic fields. In this talk I am going to present the main ideas of the proof and the connection with the so-called indecomposable integers.

Unique continuation principles constitute a very active field in control theory or the theory of random Schroedinger operators. Usually, such ucp are proved by Carleman estimates applied to generalized eigenfunctions. Carleman estimates usually depend on ellipticity and Lipschitz assumptions on the symbol of the partial differential operator under consideration. In the case of Riemannian manifolds there exist Carleman estimates and ucp for the Laplace-Beltrami operator similar to elliptic operators in $\mathbb{R}^d$. Those depend of course on elliptic and Lipschitz assumptions on the given Riemannian tensor. This circumstance makes it impossible to derive ucp depending on curvature restrictions, since it is not known how, e.g., Ricci curvature restrictions translate into uniform assumptions for the metric. I will present ucp for non-negatively Ricci curved manifolds as well as compact manifolds with Ricci curvature bounded below for small energies without using Carleman. This is joint work in progress with Martin Tautenhahn.