Vorlesung Perkolationstheorie (Wintersemester 2020/2021)
Es wird eine Vorlesung Perkolationstheorie angeboten. Sie findet in Präsenzform an folgenden Terminen statt:
Di 10-12 in M 611
Mi 12-14 in M 611
Der Dozent ist Prof. Dr. Ivan Veselic.
Es wird eine Übung zur Vorlesung Perkolationstheorie angeboten.
Sie findet online an folgendem Termin statt:
Do 14-16
Der Übungsgruppenleiter PD Dr. Christoph Schumacher.
Vorausgesesetzt werden die Kenntnisse der Vorlesung Stochastik I.
Thematische Zusammenfassung aus der Modulbeschreibung
Perkolationstheorie beschäftigt sich mit der stochastischen Modellierung der Durchlässigkeit von zufälligen Netzwerken.
Die Netzwerke werden typischerweise durch kombinatorische Graphen mit einer Gitter- bzw. Gruppenstruktur beschrieben.
Die Kanten (oder Knoten) des Graphen werden gemäß einem Zufallsmechanismus entfernt bzw. beibehalten.
Die Wahrscheinlichkeit, dass letzteres geschieht ist der fundamentale Parameter, der die Antwort auf eine Reihe von Fragen beeinflusst:
Existiert fast sicher eine unendlich große Zusammenhangskomponente (meist als Cluster bezeichnet) in dem zufällig ausgedünnten Graphen?
Was ist die erwartete Cluster-Größe? Welche Eigenschaften hat die zugehörige Verteilungsfunktion?
Weist die Geometrie der Percolationscluster ein spezielles Skalenverhalten auf?
usw.
Die Perkolationstheorie entstammt ursprünglich der Statistischen Physik,
hat sich aber als selbstständiges Gebiet innerhalb der Mathematik etabliert,
nicht zuletzt durch die Vergabe mehrerer Fields-Medaillen in diesem Gebiet.
Die Vorlesung wird im Wintersemester als 4+2 Vorlesung gehalten.
Formal setzt sie sich aus zwei 2+1 Vorlesungen:
- Planare Perkolationstheorie (2+1), Nummer MAT-435 im Modulhandbuch, und
- Nicht-planare Perkolationstheorie (2+1), Nummer MAT-436 im Modulhandbuch
zusammen.
Planare Graphen sind als erste untersucht worden, und auch heute noch ist unser Verständnis
für solche Perkolationsprobleme wesentlich besser als bei höherdimensionalen Gittern oder allgemeineren Graphen.
Es ist sowohl möglich, eine Prüfung zur planaren Perkolationstheorie (MAT-435) einzeln als auch zusammen mit der nichtplanaren
in einer zusammenfassende Prüfung über beide als ein 4+2 Modul ablegen.
Vom Zeitplan her wird die Vorlesung als eine 4+2 Veranstaltung organisiert, wobe die erste Hälfte des Semesters auf MAT-435
und der zweite auf MAT-436 entfällt. Studierende, die nur MAT-435 belegen wollen, müssen dementsprechend nur den ersten Teil der
Vorlesung hören.
Anwendungsbeispiele
Hier finden Sie eine Liste von verschiedenen Anwendungsgebieten der Perkolationstheorie.
Zu jedem Thema gibt es einen oder mehere Links zu Artikeln oder Webeseiten, in denen die Anwendung beschrieben wird:
Übungsaufgaben
- Blatt 0 (zuletzt geändert am 05.11.2020)
- Blatt 1 (zuletzt geändert am 06.11.2020)
- Blatt 2 (zuletzt geändert am 15.11.2020)
- Blatt 3 (zuletzt geändert am 18.11.2020)
- Blatt 4 (zuletzt geändert am 04.12.2020)
- Blatt 5 (zuletzt geändert am 04.12.2020)
- Blatt 6 (zuletzt geändert am 19.02.2021)
- Blatt 7 (zuletzt geändert am 17.12.2020)
- Blatt 8 (zuletzt geändert am 11.01.2021)
- Blatt 9 (zuletzt geändert am 21.01.2021)
- Blatt 10 (zuletzt geändert am 21.01.2021)
- Blatt 11 (zuletzt geändert am 29.01.2021)
- Blatt 12 (zuletzt geändert am 05.02.2021)
Prüfungsvorleistung:
Die Übungsaufgaben sind zu bearbeiten und in der Übung abzugeben.
Die Aufgaben werden korrigiert und bewertet.
Für eine Zulassung zur Modulprüfung sind mindestens 50% der Punkte aus den Übungsaufgaben erforderlich.
Sonstiges
Es gibt die Möglichkeit im Themebereich Perkolationstheorie Bachelor- und Masterarbeiten zu schreiben.
Voraussetzung ist eine gute Prüfung über beide Module MAT-435 und MAT-436.
Bei genügend starkem Interesse wird im folgendem Semester ein weiterführendes Seminar zu dem Thema angeboten.
Literatur:
-
Chayes, Jennifer, Chayes, Lincoln: Percolation and random media.
In: Phénomènes critiques, systèmes aléatoires, théories de jauge, North-Holland, Amsterdam, 1986.
-
Grimmett, Geoffrey: Percolation, Springer, Berlin, 1989.
Weiterführende Literatur (chronologisch):
-
Bollobás, Béla; Riordan, Oliver. Percolation.
Cambridge University Press, New York, 2006. x+323 pp. ISBN: 978-0-521-87232-4; 0-521-87232-4, DOI 10.1017/CBO9781139167383
-
Grimmett, Geoffrey R.; Kesten, Harry. Percolation theory at Saint-Flour.
Probability at Saint-Flour. Springer, Heidelberg, 2012. xxviii+303 pp. ISBN: 978-3-642-32508-3
-
Hunt, A.; Ewing, R. Percolation theory for flow in porous media.
Lecture Notes in Physics, 771. Springer-Verlag, Berlin, 2009. xviii+319 pp. ISBN: 978-3-540-89789-7
-
Kesten, Harry. Percolation theory for mathematicians.
Progress in Probability and Statistics, 2. Birkhäuser, Boston, Mass., 1982. iv+423 pp. ISBN: 3-7643-3107-0
-
Meester, Ronald; Roy, Rahul. Continuum percolation.
Cambridge Tracts in Mathematics, 119. Cambridge University Press, Cambridge, 1996. x+238 pp. ISBN: 0-521-47504-X, DOI 10.1017/CBO9780511895357
-
Stauffer, Dietrich. Introduction to percolation theory.
Taylor & Francis, Ltd., London, 1985. viii+124 pp. ISBN: 0-85066-315-6
-
Werner, Wendelin. Percolation et modèle d'Ising. Cours Spécialisés , 16. Société Mathématique de France, Paris, 2009. vi+161 pp. ISBN: 978-2-85629-276-1
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