TU Dortmund
Fakultät für Mathematik

Vorlesung Perkolationstheorie (Wintersemester 2020/2021)

Kantenperkolation in der Ebene

Es wird eine Vorlesung Perkolationstheorie angeboten. Sie findet in Präsenzform an folgenden Terminen statt:

Di 10-12 in M 611
Mi 12-14 in M 611

Der Dozent ist Prof. Dr. Ivan Veselic.

Es wird eine Übung zur Vorlesung Perkolationstheorie angeboten. Sie findet online an folgendem Termin statt:

Do 14-16

Der Übungsgruppenleiter PD Dr. Christoph Schumacher.

Vorausgesesetzt werden die Kenntnisse der Vorlesung Stochastik I.

Thematische Zusammenfassung aus der Modulbeschreibung

Perkolationstheorie beschäftigt sich mit der stochastischen Modellierung der Durchlässigkeit von zufälligen Netzwerken. Die Netzwerke werden typischerweise durch kombinatorische Graphen mit einer Gitter- bzw. Gruppenstruktur beschrieben. Die Kanten (oder Knoten) des Graphen werden gemäß einem Zufallsmechanismus entfernt bzw. beibehalten. Die Wahrscheinlichkeit, dass letzteres geschieht ist der fundamentale Parameter, der die Antwort auf eine Reihe von Fragen beeinflusst: Existiert fast sicher eine unendlich große Zusammenhangskomponente (meist als Cluster bezeichnet) in dem zufällig ausgedünnten Graphen? Was ist die erwartete Cluster-Größe? Welche Eigenschaften hat die zugehörige Verteilungsfunktion? Weist die Geometrie der Percolationscluster ein spezielles Skalenverhalten auf? usw. Die Perkolationstheorie entstammt ursprünglich der Statistischen Physik, hat sich aber als selbstständiges Gebiet innerhalb der Mathematik etabliert, nicht zuletzt durch die Vergabe mehrerer Fields-Medaillen in diesem Gebiet.

Die Vorlesung wird im Wintersemester als 4+2 Vorlesung gehalten. Formal setzt sie sich aus zwei 2+1 Vorlesungen:

zusammen. Planare Graphen sind als erste untersucht worden, und auch heute noch ist unser Verständnis für solche Perkolationsprobleme wesentlich besser als bei höherdimensionalen Gittern oder allgemeineren Graphen.


Es ist sowohl möglich, eine Prüfung zur planaren Perkolationstheorie (MAT-435) einzeln als auch zusammen mit der nichtplanaren in einer zusammenfassende Prüfung über beide als ein 4+2 Modul ablegen.
Vom Zeitplan her wird die Vorlesung als eine 4+2 Veranstaltung organisiert, wobe die erste Hälfte des Semesters auf MAT-435 und der zweite auf MAT-436 entfällt. Studierende, die nur MAT-435 belegen wollen, müssen dementsprechend nur den ersten Teil der Vorlesung hören.

Anwendungsbeispiele

Hier finden Sie eine Liste von verschiedenen Anwendungsgebieten der Perkolationstheorie. Zu jedem Thema gibt es einen oder mehere Links zu Artikeln oder Webeseiten, in denen die Anwendung beschrieben wird:

Übungsaufgaben

Prüfungsvorleistung:

Die Übungsaufgaben sind zu bearbeiten und in der Übung abzugeben. Die Aufgaben werden korrigiert und bewertet. Für eine Zulassung zur Modulprüfung sind mindestens 50% der Punkte aus den Übungsaufgaben erforderlich.

Sonstiges

Es gibt die Möglichkeit im Themebereich Perkolationstheorie Bachelor- und Masterarbeiten zu schreiben. Voraussetzung ist eine gute Prüfung über beide Module MAT-435 und MAT-436. Bei genügend starkem Interesse wird im folgendem Semester ein weiterführendes Seminar zu dem Thema angeboten.

Literatur:

Weiterführende Literatur (chronologisch):

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